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deux dimensions décrit par ce cycle, quand y décrit dans son plan un 

 contour fermé tel que le cycle revienne, en même temps que y, à sa posi- 

 tion initiale. 



» Ceci posé, envisageons l'intégrale abélienne 

 (3) rQ (x,y,s)dx 



relative à la courbe (2), qui dépend du paramètre y. Les périodes de cette 

 intégrale sont des fonctions de JK, qui satisfont à une équation difTérenlielle 

 linéaire E à coefficients rationnels en j-. Je rappelle que des équations 

 analogues (voir loc. cil.) jouent un rôle fondamental dans mes recherches 

 sur les intégrales de différeniielles totales et les cycles linéaires des 

 surfaces. 



M Les points singuliers de l'équation E sont faciles à définir sous forme 

 géométrique ; ils correspondent aux y des points simples de la surftice, où 

 le plan tangent est parallèle au plan des zx. Avec les hypothèses faites sur 

 les singularités de la surface/", la nature de ces points singuliers est d'ail- 

 leurs très simple (p. 95, /oc. cit.). 



» Désignons d'une manière générale par 10 une période de l'intégrale 

 abélienne (3). Les périodes de l'intégrale double I vont correspondre aux 

 cycles de Vcqualion linéaire E; par cette expression, j'entends un contour 

 fermé C dccritdans le plan de la variable j, tel qu'une détermination co(j) 

 de co reprenne la même valeur quand y décrivant C revient à son point de 

 départ. Les périodes de I sont alors de la forme 



Il est facile de former effectivement de tels cycles. On peut en obtenir de 

 la manière suivante : Soient a et h deux points singuliers de l'équation E; 

 un lacet relatif au point a parcouru uu nombre convenable de fois, suivi 

 d'un lacet de même origine relatif au point b parcouru aussi un certain 

 nombre de fois, forme un cycle de l'équation E, et donne une période de 

 l'intégrale double. On peut encore procéder comme il suit : L'inté- 

 grale (3) a une période logarithmique pour y = a et pour jy = 6; il v aura 

 en général un chemin r allant de a en b et conduisant de la première à la 

 seconde. Si ii(j') désigne la valeur de cette période pour j arbitraire 

 sur r entre a et b, l'intégrale définie 



prise le long de r, sera une période de notre intégrale double. 



