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(elle est donc indépendanle de t); 2" quand on augmente H, -/i, E', r' de 

 constantes (sans changer les vitesses par rapporta G), ce qui ne change ni 

 T — U, ni W; la relation (2) est donc indépendante de S, r,, l', -n , et peut 



s'écrire 



W = (p(T-TJ). 



Mais les équations du mouvement ne changeant pas quand on change / 

 en a}t, les Xi, Vj en a^a;,, a- r,, les x-, y- en 



''•W=-(p — ^^^ — 

 c'est-à-dire 



y.- 



— ) — ï 



a a 



on doit avoir 



= 3C'f(T- U), 



cp(T-U) 



), 



V 



U 



); désignant une constante «f^/nm^we (qui peut avoir plusieurs détermina- 

 tions et en particulier être nulle). Autrement dit, la condition (2) peut 

 s'écrire 



(3) 



W-(T-U^ = -X^ 



» Or, quelle que soit la valeur supposée de >., il est facile de voir que, 

 moyennant certaines inégalités, les conditions initiales vérifiant (3) cor- 

 respondront à un mouvement hyperbolique (mouvement où les trois astres 

 s'éloignent l'un de l'autre indéfiniment quand t tend vers + 00 ou vers — so). 

 Il est donc impossible que l'équation (3) soit condition suffisante du choc. 



C. Q. F. D. 



» Le même raisonnement prouve que (dans le plan), la condition du 

 choc ne saurait se traduue par une relation F ^ o, où F soit algébrique par 

 rapport aux vitesses et fonction uniforme {ou à un nombre fini de branches) 

 des coordonnées. Il suit de là que, dans l'espace, les conditions du choc ne 

 sauraient se traduire par deux relations F = o, $ =: o où F, <I> soient algé- 

 briques par rapport aux vitesses et fonctions à un nombre fini de branches 

 des coordonnées. 



» On peut préciser encore ce résultat de la manière suivante : bornons- 

 nous, pour plus de clarté, au cas de trois corps mobiles dans un même 

 plan. En tenant compte des intégrales classiques, on sait qu'on ramène 

 l'étude du mouvement à l'étude d'un système 1 de deux équations diffé- 

 rentielles du second ordre, où r,, par exemple, est la variable, r^, r^ les 

 deux fonctions inconnues (r, , /•,, r, désignant les distances des trois corps) ; 

 ces équations dépendent d'ailleurs de la constante des forces vives h et de 



