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je vais indiquer quelques propriétés. Ces deux systèmes de lignes, qui sont 

 toutes des courbes C, sont conjugués. 



» Soient MT', MT" les tangentes aux deux courbes de paramètres i> el u 

 qui passent en chaque point M (a;,, a-,, x^) de T, et M', M" les points 

 focaux autres que M, de ces deux droites qui engendrent deux con- - 

 gruences. Les coordonnées de M' et de M" ont pour expressions 



^fM et ce,, ""^'^^y i Elles montrent que, si M décrit la surface r, 



" /Tf I rr. I rr \ * 



ce 



M' et M" décrivent aussi deux surfaces r, soient r' et T", et si M se meut sur 

 une des lignes C, M' et M" parcourent également deux des lignes C. 



» Dans le cas où r est l'une des surfaces 1, T' et T" sont aussi deux sur- 

 faces 2, soit S' et 2"; et si l'on fait alors mouvoir le point M sur une ligne L, 

 les points M' et M" se déplacent sur deux lignes L, tandis que les trois 

 droites MT', MT", MM" engendrent trois surfaces I. 



» Je considère maintenant l'équation linéaire qui caractérise le réseau 

 conjugué formé, sur la surface T, par les courbes de paramètres u et <% à 

 savoir 



(E„) [(p(w)-o,(.0]^j^j; 



d-^ I tJO t <J6 



' /,((•) dit /(«) f)c 



= o. 



Les invariants de cette équation (E„) et ceux des équations (Ey), que l'on 

 en peut faire dériver par la méthode de Laplace, ont pour valeurs 



[(A- + .)/(») -f'(iO + i] [/./.(r) o; (r) - I] , , ^ . . _ . 



leur examen fait apercevoir des cas d'intégrabilité de l'équation (E„) : 



)> j° L'équation (E„) est inlégrable par la méthode de Laplace quand 

 l'im des deux produits /(«) ç'(«)./, (r) (p',((') est constant et égal à l'in- 

 verse d'un nombre entier />, positif ou négatif, et seulement dans ce cas. Ce 

 cas correspond à l'hypothèse où l'une des deux lignes C,, C, est une des 

 unicursales C définie par la formule 



■'■«= ?■«(««-!-"/ (n = 1, 2,3), 



/•( , r,, Tg étant des constantes. 



» -2° On peut intégrer l'équation (E„) toutes les fois que les deux inva- 

 riants de l'équation (E^) sont égaux, c'est-à-dire quand on a 



2,//(«) ?'(")/. («•'» ?; (") =^/(") ?'(«) - A (0 ?; (^)- 



En effet, si q)'(") ?< ('') n'fst pas nul, cette condition exige que /{u) '^'{") 



