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donnes, peut toujours, quelque soit m, être engendrée (et même, en géné- 

 ral, de plusieurs manières) à l'aide de deux faisceaux projectifs, dont la 

 sommedesdegrés,«, «', soitégaleàw, si m es i, 2,3(mod.Zi), ou km -h i, 

 sim^so (mod. 4), sauf exclusion de ceux des systèmes (n, n') où l'un 

 des nombres n ou n' est lui-même un multiple de 4, ou bien est de la môme 

 forme que m par rapport au module 4- 



» II. Les mêmes raisonnements s'appliquent au cas où des points doubles 

 font partie des données et conduisent au théorème suivant : 



» Théorème. — Toute sur/ace algébrique Sf„, déterminée par ^ points 

 doubles (étant supposé qu'il soit permis de prendre tous ces ^ points doubles 



arbitrairement) et par'-^{m- -+- 6m i- 1 1) — 4^ autres points simples donnés, 



peut être engendrée, d'au moins u/ic manière, à l'aide de deux faisceaux pro- 

 jectifs, d'ordres n, n', dont la somme des degrés n -H n' est égale à m {ou à 

 m + \, si m est midtiple de 4), quelques-unes des combinaisons (n, n') devant 

 d'ailleurs être exclues comme impropres, si n ou n' y est multiple de 4, ou bien 

 s'il est de la même forme que m par rapport au module l\. 



» Dans ce cas, le nombre des points inconnus qu'il est nécessaire d'in- 

 troduire dans les bases des faisceaux générateurs est diminué du nombre S 

 des points doubles donnés et s'exprime, en conséquence ('), par la for- 

 mule 



(A) X = ^ — 6. 



» m. Actuellement, si l'on demande que S, au lieu d'être un nombre 

 donné, soit le plus grand nombre que comporte le système (n, n') adopté pour 

 la génération de S„, U est clair que ce maximum serait atteint si l'on pou- 

 vait constituer les deux bases B„, B„' de telle sorte qu'elles ne continssent 

 que les points X (formule A) avec les points 8 (en nombre encore non dé- 

 terminé) qui doivent entrer dans chacune d'elles, afin que leur superposi- 

 tion y donne lieu à autant de points doubles dans la surface engendrée S,„. 



(' ) On a, en eilel, 



D„,~ 45 - (B„ 1- B„.- 20 - X) r. 3X + 3; 

 d'où, eu subsliluaul à 1J„,, B„, ]J„. leurs valeurs, 



, mit { m -\- Il — 4) — 'l "" — 2 



