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nium maximonim ohUMUi, A, on Ao, soit plus grand ([uo A„. En résumé, 

 c'est le plus grand des trois nombres A^, A,, A^, lorsrpic m^ t, 2 ou 3 

 (module 4). «n <^les deux nombres A, , A^ , lorsque m L-r: o ()uodule 4), qui 

 sera le maximum absolu cherche. Nous le désignerons par A. 



M Telle est la marche élémenlaire (|u'il faul suivre pour risoiidrc le pro- 

 blème proposé. Elle est, comme ou voit, tout à fait seud)labl(> à (('Ile qui 

 convient dans la recherche analogue concernant les courbes planes. 



» IV. Avant d'aller plus loin, il importe d'établir que le maximum A, 

 fourni par l'application de la méthode, est bicMi le maximum absolu cherché. 



» En efTet, supposons qu'il y eu ait un autre A', plus élevé. Il y aurait donc 

 une surface S'„, pouvant être dotée arbitrairement de A'jioints doubles, avec 

 d'autres points sim])les, au nombre de D,„— ^A', complétant sa détermi- 

 nation. Si cela était, cette surface pourrait, en vertu du théorème ci-dessus 

 ( (l), être engendrée par deux faisceaux (/t), («'), convenablement choisis, 

 la somme n -+- n' étant, selon le cas, égale soit à m, soit à m -1- 1 , soit enfin 

 il m -r- 2. Or on a déjà parcouru toute l'échelle des systèmes (n,n'), dans 

 ces trois combinaisons, pour obtenir A, c'est-à-dire qu'on a déjà emplové 

 tous les systèmes possibles, ou propres, qui s'y trouvent. On v aurait donc 

 forcément rencontré la solution A', si elle existait. Donc elle n'existe pas; 

 l'hypothèse est inadmissible, et le vrai maximum est bien celui A qui résulte 

 des opérations indiquées. 



» V. Je dois enfin montrer comment il est possible de faire servir une 

 surface du second ordre adjointe, pour engendrer une surface S„ déter- 

 minée par des conditions (points simples ou multiples) données en nombre 

 suffisant. Cela revient à engendrer une surface de degré ni -~ 2, qui satis- 

 fasse aux mêmes conditions que S,„ et qui, en outre, se décompose en la sur- 

 face S,„ et en une surface du second ordre, dont les éléments, arbitraire- 

 ment choisis, viennent accroître le nombre de ceux qui sont donnés pour 

 S„,, et dont on fera abstraction, une fois l'opération terminée. Pour cela, 

 il suffit d'ajouter aux points simples donnés (a), dont le nombre (d'après 

 les notations adoptées) est D„,, ou (D,„— 4:^-) s'il y a y. points doubles 

 donnés, un nombre La de points simples (/j, tel qu'on ait 



(') Il s'ensuit que ce nombre excède d'une unité celui par lequel est déterminée la 

 courbe d'intersection de deux surfaces d'ordres 2 et /w -r i, nombre qui est, |>;ir suite, 

 m-^Qni -+-8. Ce résultat, qui peut s'étendre /)«/■ le même raisonnement à deuv sur- 



