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 Mais il est Lieu enteiuhi que, pas plus pour les surfaces que pour les 

 courbes planes, aucun de ces points arbitraires (/) ne doit entrer dans les 

 bases des faisceaux générateurs, leur unique fonction étant de concourir, 

 avec ceux des points simples donnés (a.) qu'on n'y a point employés et 

 qui restent disponibles, à servir pour la détermination des points incon- 

 nus {x), dont le nombre est X, et pour établir la projectivité des deux fais- 

 ceaux qui en réclame trois. Or un calcul facile prouve que V adjonction de 

 m^ + Gm + 9 points auxiliaires pris à volonté (avec la seule condition 

 qu'un seul d'entre eux ne soit pas situé sur la courbe gauche d'intersec- 

 tion de So avec S,„^o) satisfait précisément à cette double détermination, 



c'est-à-dire que 



D,„ + (;«--}- (Sm + 9) = 3X -f- 3. 



» VI. Je vais, en terminant et pçur mieux fixer les idées, appliquer la 

 méthode à un cas individuel, et je suppose qu'on demande quel est le 

 maximum absolu A du nombre des points doubles qu'il est permis d'attri- 

 buer arbitrairement à une surface du dix-septième degré. 



» En tenant compte des règles données ci-dessus, les systèmes propres 

 (n, n') sont ici : 



» i" Pour n H- n' = i'j, 



(10,7), (11,6), (i3,/|), ..., 



et les valeurs correspondantes de (5 (dont la deuxième et la troisième ont 

 été réduites à celles de Bj) sont, respectivement, 



(5 = 35, 82, 33, ... ; 

 donc A„ == 82. 



» 2° Pour /î -I- «' = I 7 + I (il est fait usage ici d'un plan adjoint); les 

 systèmes propres sont 



(9,9), (11,7), (i3,5), ..., 



les valeurs de î) (dont la première doit être écartée comme négative), sont 

 respectivement 



(5 = - 9, 57, 54, ...; 

 donc A, ^ 57. 



faces d'ordres m el m' , s'accorde avec celui que Jacobi a déduit d'autres considéra- 

 tions dans le Journal de Crelle, t. 15, p. 299. 



