( 25 ) 



)) 3° Enfin, pour /î -t- n' = 1 7 + 2 (il est fait usage ici d'une S., adjointe), 

 les systèmes propres sont 



(10,9), (r3,6), (i4,5), '..., 



les valeurs de S (dont la première doit être écartée comme étant négative) 

 sont, respectivement, 



(5 = — i5, 82, 54, . . . , 



d'où A. = 82, égale à A„ et plus grande que A,. Donc enfin le maximum 

 absolu demandé pour S,, est A = 82. 



» Soit, en second lieu, proposé de trouver le maximum A pour la sut*« 

 face du quatrième ordre. A cause que 4 est multiple de 4» il faut admettre 

 immédiatement un plan adjoint. On a, pour rt-4-/i'=4-Hi. le système 

 unique (3, 2), pour lequel la formule (C) donne S = i3, qu'il faut d'abord 

 réduire à Bo = 8. On aurait ainsi la solution 



S4n = 



B3 = [8(;5 ) + 5(7.) -H o(cc)] = 18, 

 B, = [8(.V)| = 8, 



et 

 d'où 



05=^55-4.8 = 23, 

 S = 23 - 5 = 18 = 3 + 3.5 = 3 -i- 3X, 



mais celle solulion est illusoire; car les données de S* sont huit points 

 doubles (équivalant à trente-deux points simples) et deux autres points 

 simples (y.). Donc, en complétant avec cinq points simples la base B3 on y 

 a introduit, en outre de ces deux points (■/.), trois points auxiliaires, ce 

 qui est interdit; mais, si l'on réduit S d'une unité, c'est-à-dire si l'on prend 



S = 7, on a 



B,^[7(î))-+-6(.r) + 5(z)] = i8, 



B,=[7(S) -h I (..)! = 8, 



S 



1+1 ■ 



et comme on peut alors disposer de six points simples (y.) donnés, puisque 

 34 — 4.7 = 6, la solution est correcte, et A = 7. Quant à l'emploi de S, 

 adjointe, il est impropre dans ce cas. Donc enfin A = 7, ainsi qu'on le con- 

 clut immédiatement de considérations géométriques directes. Il n'y a, en 

 effet, que la surface du quatrième ordre composée de l'ensemble des deux 

 surfaces du second ordre (dont chacune est déterminée par les huit points 

 donnés pour être doubles et par l'un des deux points simples, respeclivc- 



C. R., 18SS, I" Semestre. (T. CVI, N° 1.) ' 



