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CALCUI. J)ES PlioRABU.ITlîS. — Sur un problème rclulifà In dunr du jeu: 



par M. E. Kouciik. 



« Pierre et Paul joiu-iit riin contre l'autre jusqu'à ce que l'un d'eux soit 

 ruiné. A et B sont leurs fortunes primitives, a et b leurs mises à chaque 

 partie, p el q -^ i — p leurs probabilités respectives de gagner l'une quel- 

 conf|ue des parties. 



» On promet ù Jean, cjui ne participe pas au jeu, un franc par partie 

 jouée. Quelle est l'espérance mathématique de Jean, c'est-à-dire la valeur 

 vénale V âi^ la promesse qui lui est faite? 



» M. Bertrand a trouvé (Comptes rendus, 7 novembre 1887) que, lorsque 

 le jeu est équitable, la valeur V est égale au produit AB des fortunes des 

 deux joueurs, les mises a et b étant supposées égales à l'unité. 



» Mais qu'arrive-t-il quand le jeu n'est pas équitable? L'étude de ce cas 

 m'a conduit à un théorème qui me paraît digne d'attention à cause de son 

 élégante simplicité. 



» Lorsque le jeu n'est point équitable, la quantité 



(i) (a--.b)p — a 



est différente de zéro. Si elle est, par exemple, positive, le jeu est avanta- 

 geux pour Pierre, et nous donnerons à l'expression (i), c'est-à-dire à 

 l'excès de l'espérance mathématique sur la mise, le nom à'avantagc de 

 Pierre à chaque partie. L'avantage de Paul sera alors négatif; c'est la quan- 

 tité (a . b)q - b, qui n'est autre (pic la précédente (i) changée de 

 signe. 



» Par analogie, nous nommerons avantage total Ae Pierre la quantité 



(A -:- B)P - A, 



P désignant la probabilité pour ([ue Pierre ruine Paid; c'est l'excès de 

 l'espérance totale (A + B)P de Pierre sur sa fortune primitive A. L'avan- 

 tage total de Paul serait la même quantité prise en signe contraire. 



>' Clela posé, le théorème auquel j'ai été conduit peut s'énoncer de la 

 manière suivante : 



» La valeur vénale de la promesse faite à Jeun est égale au rapport de l'avan- 

 tage total de l'un quelconque des joueurs à l'avantage du même joueur dans 

 chaque partie. 



