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 » Pour démontrer cette proposition, ou la formule 



(A-i-B)P- A 



(2) V 



(a H- b)p — a 



qui en est la traduction algébrique, désignons par y.,: l'espérance mathé- 

 matique de Jean au moment où la fortune de Pierre est x. La valeur de y^ 

 se composera de trois parties, qui sont : i" le franc qui est assuré à Jean 

 pour la partie qu'on va jouer; 2° l'espérance j^+4 de Jean après que Pierre 

 aura gagné cette partie, multipliée par la probabilité p que Pierre a de la 

 gagner; 3" l'espérance y,^^„ de Jean après que Paul aura gagné la susdite 

 partie, multipliée par la probabUité q que Paul a de la gagner. De là ré- 

 sulte l'équation 



( 3 ) Vx = I -^'^ pYx+b -i- qyx-a . 



à laquelle il s'agit de satisfaire à l'aide d'une fonction renfermant deux 

 constantes arbitraires; on déterminera ensuite ces constantes par les con- 

 ditions 



(4) Jo=o, Ja+b=o, 



qui expriment la cessation du jeu dès que Pierre a tout perdu ou tout 

 gagné; enfin on aura l'inconnue V par la formule V =J^a* 

 » Or, si l'on pose 



(5) J,= Cx•^^-C,^^-C„ 



et si l'on substitue dans (3), on a, suppression faite des termes qui ont 

 pour coefficient p ~\- q — \ , 



Ca-^-«(pa«-*- x"+ y) + ji + C, [(a 4- b)p - a]\ = o. 



L'expression (5) sera donc une solution de (3) avec deux constantes ar- 

 bitraires C et C„, si l'on prend, pour a, la racine j)ositive, autre que i, de 

 l'équation trinôme 



pX^'-^^—X» 4-9 = 

 et, pour C,, la valeur 



C = -' 



' (a + b) p — a 

 qui est finie, puisque, dans notre hypothèse, la quantité (i) n'est pas nulle. 



