( 'in ) 



D'ailleurs, les conditions ( 'i ) imposent dès lors à C et à Co les valeurs 



A + B 



on a donc 

 et enfin 

 en posant 



^'o ^' [(rt-hi)/? — a](i — aA+«)' 



A + B I — a-' a; 



[{a + b) p ~ a] 1 — ol''+^ [(a+b)p — a\ 

 (A + B)!-" — A 



y=y. 



A ■ 



(a 4- 6 ) /J — a 



p=.'-- 



A+B 



» Il suffit, pour achever, de prouver que cette dernière expression I* 

 représente la probabilité pour que Pierre ruine Paul. 



» Or, si l'on désigne par z,. la probabilité que Pierre, lorsqu'il possède 

 X, a de ruiner Paul, le principe de la probabilité totale donne l'équation 



à laquelle on satisfait en posant 



a. ayant la valeur déjà indiquée, et K et K' restant arbitraires. Mais ici on 

 doit avoir 



^0=^ O, -^A+l! ' ' 



il en résulte 

 puis 



R' = - K = - 



A-rli' 



et enfin 



I — a'^ ,) 

 :^ F. » 



Démonstration du théorème précédent; par M. BERTnAXD. 



« Pierre et Paul jouent à un jeu de hasard : l'cnjcii de Pierre est a, 

 celui de Paul est b; la probabilité de Pierre est p, celle de Paul est q; 



c. R., i88S, I" Semestre. (T. CVI, N" !•) 7 



