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pb — aq est positif. Soit n le nombre probable des parties jusqu'à la ruine 



de l'un des joueurs. S\p,,p.„p, sont les probabilités pour que le jeu 



finisse en x^, x.,, . . ., cc^, parties, on aura 



/j, X, + p.x.^ -H . . . + p^,x^, + .. .= n. 



» Pierre peut conclure, avec des acheteurs différents, des marchés équi- 

 tables qui leur livrent les avantages qui pourront pour lui résulter du 

 jeu si le nombre des parties est un nombre désigne. Un acheteur, par 

 exemple, recevra la promesse d'obtenir le bénéfice tout entier si le nombre 

 des parties est x^ ; celui-là devra payer évidemment 



p,x,(ph — a<i] 



» La somme des bénéfices que Pierre attend peut être vendue à des 

 acheteurs différents. Tous les marchés sont équitables et leur conclusion 

 simultanée ne peut créer aucune difficulté, puisque, quel que soit le 

 nombre des coups joués, l'un des acheteurs se substituera au vendeur, et 

 les autres, d'après leurs conventions, en échange des chances équitable- 

 ment j^ayées à l'avance, n'auront rien à réclamer; la somme payée en 

 échange de la totalité des gains probables sera 



{Pi ^1 + P2 ^2 -1- • • • -^ Pv.^v) (P^ - aq). 



» Cette somme est évidemment égale à l'excès, sur la fortune de Pierre, 

 de l'espérance mathématique résultant, pour lui, de la détermination de 

 jouer jusqu'à la ruine de l'un des deux joueurs. Cette espérance mathéma- 

 tique est le produit de l'enjeu total (m + n) par la probabilité P de le 

 gagner et l'avantage du joueur est l'excès de cette espérance mathématique 

 sur la somme m qui, une fois le jeu commencé, devient une partie de 

 l'enjeu m An, qui ira tout entier à l'un des deux adversaires. On peut 

 donc écrire 



{ptX^ + Pi'^2 + . ■■ + Pn^n){p^ — (la) =^ V{m -i- n) — m 



et, par conséquent, 



P ( m -\- II) — m 

 p,x, -^p,x, -1-. . . H- p,,r„ ^^—l~ 



M Le premier membre est le nombre probable des parties qui seront 



