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les lignes [y. = const. étant les lignes asyniplotiques de la surface. Les 

 fonctions gi et A, sont alors liées par certaines relations nécessaires et 

 suffisantes, auxquelles est applicable la méthode ci-dessus définie. 



» Pour que les courbes [j. = const. soient des asymptotiques, il faut et 

 il suffit que les fonctions gi+ [j.hi vérifient une équation aux dérivées par- 

 tielles de la forme 



-rr^ -h A ^ H- L ^ + M6 = o 

 ah- al djj. 



(Darboux, Cours de Géométrie, t. I, p. i '|5); on en conclut qu'on doit ici 

 avoir, pour i ^^ r, 2, 3, 4» 



g. + ;aA; -\^ k{g. + [,.li.) -I- V>gi + Chi = o. 



On voit d'abord aisément que A est une simple fonction de 1, et B, C des 

 fonctions entières et du premier degré de a. Nous poserons donc 



s s s 



où h, d, p, q, s sont des fonctions de \, encore indéterminées. 

 » On trouve alors les deux équations 



(i) sU\ -+- bhj + qhi — gi = o, 



( 2 ) ^^; -4- bg. + dgi+ phi = o . 



» En tirant g/ de la première équation et portant dans la seconde, on 

 trouve une équation du quatrième ordre 



( 5^ h'; -f - o.s(s' + h) h": + [ s (s" -^ 2b'-hq)-hh (s -h b)-{-sd\ h[ 



\ -t- [^ ( //' + 2 r/' ) + 6 (/>' -H 7 ) + bd ] U. -h \iiq" + hq -H dq H - /;] A,- = o . 



» Les quatre fonctions A, , Aj, Aj, A ., vérifient une équation du quatrième 

 ordre facile à former, quand on connaît ces fonctions; soit cette équa- 

 tion 



A"-f- 4P,A'"+ 6P„A"+ 4P.iA'-4- P,,A = o, 



qui doit être identique avec (3); en identifiant, on trouve 



s{s'+b) = op,,2^ 



,^ ; s{s"-\- 2//+ ,7) -(- b{s'+ h) + sd = 6V._s-, 



' s{b"-\- 'iq') + h(h'+ q) + bd =. 4 W^s-, 



sq"-h bq'-h dq + p = 'P,,s-, 



