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 ce qui peut s'écrire encore 



^ 5'+ è — 2P,5 = o, 



(5) 

 (6) 



' — //'+ ( -P; + 4P; - 6l\_)lj 4- 4 l\s - iq'= o. 

 ^ i(^"-f 2//+ 7) -I- h{s'+ b) -h 5(/ = (3 ï'.s-. 



( «/"+ hq'+ dq +/3 = P,,5-. 



» Une fois s, b, q connus, les formules (6) feront connaître p et d par 

 une formule algébrique linéaire; tout se résout donc à déterminera, b, q 

 d'après les équations ( .)). En posant 



(7) 2O = //+ iq, 



on est facilement conduit au système 



(9) 



0'=rP', + 2P;- — 3?.)^ 

 s' = — b + iV.s 



■iV.s, 



et, en éliminant b, ou trouve 



(10) = 2(P3-hP,P',+ 2P^- 3P,Po)iM- (3P, - P; - 2P;)i'. 



» Appelons V l'invariant différentiel découvert par M. Halphen, 



3oV = -P",+ 3P;-GP,P', - 2P3-f-6P,P, -4P'; 



l'équation (10) peut s'écrire 



(. I) 0'=[(3P,-P; - 2P;)^]'- 3oV5, 



et si l'on désigne alors par u une fonction arbitraire de \, il viendra, en 

 posant 



(,2; 



s = 



3oV 



= (3P.- P', - 2P;).y- u. 



» La formule (9) donnera alors b, et la tormulc (7) donnera q; la for- 

 mule (i) fera ensuite connaître g,, g:,, g^, g^, en sorte qu'on aura finale- 

 ment pour représentalinn générale des surfaces réglées rapportées à leurs lignes 

 asymplotiqnes 



2P 



3oV 



■kTv 



a: 



11 ' l 00 V ' 



+ [(3P._.,V_.P;)Ji^__P,(.^y-H;(j^,)--„]A, 



