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- Je répète que, dans celle formule, h^, h-., h^, h,, a sont entièremenl 

 arbitraires. Si, par exemple, on prend pour ces fonctions des fonctions al- 

 gébriques quelconques, on possédera, sous forme explicite, toutes les sur- 

 faces réglées dont les asymptotiques sont algébriques . 



» Si V=o, la méthode semble en défaut; les tangentes de la courbe (A) 

 font alors partie d'un complexe linéaire. Mais l'équation (ii) s'intègre 

 alors immédiatement, et l'on peut prendre s pour fonction arbitraire: on a 

 ainsi la représentation suivante, où a = const., 



^xi = ]uu.-^ sIi\ + (iV,s-s')h'.-'.\{-iV,~ iV]--iV\)s^V,s'^-'^s"-\-7]hi, 



qui ne diffère pas essentiellement de la précédente. 



» Les applications de ces formules sont évidemment très nombreuses : 

 c'est ainsi, par exemple, qu'on trouve toutes les surfaces réglées dont les 

 asymptotiques sont des courbes rationnelles ; il suffit de prendre pour h^, 

 /zj, A3, A,,, u des fonctions rationnelles de>.. 



)> Remarquons en terminant que la formule ci-dessus fournit la solution 

 générale de ce problème : 



» Une courbe (A) étant donnée, trouver une courbe (g^ correspondant point 

 par point à (h), de sorte que le plan osculateur en un point M de (A) adle 

 passer au point correspondant M' de (g), et que le plan osculateur de (g) en 

 M' aille aussi passer par M. 



» Il me semble fort remarquable que la solution générale de ce pro- 

 blème puisse être explicitement obtenue sans aucune intégration ni qua- 

 drature. >) 



GÉOMÉTRIE. - Sur les systèmes de courbes qui divisent homo graphiquement 

 une suite de cercles. Note de M. Demartres, présentée par M. Darboux. 



« I. On sait cjue, si l'on considère une suite de cercles situés dans un 

 plan, ou encore les caractéristiques d'une enveloppe de sphères, cjuatre 

 quelconques de leurs trajectoires orthogonales déterminent sur tous ces 

 cercles des systèmes de quatre points ayant le même rapport anharmo- 

 nique (Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, p. ti6). J'ai 

 fait voir que cette propriété a lieu sans aucune restriction pour les trajec- 

 toires orthogonales d'un cercle qui se déplace et se ddate d'une manière 

 quelconque [Sur les surfaces à génératrice circulaire (^Annales de l'École Nor- 



