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maie, p. i3o; 188"))]. On peut se proposer de rechercher, sur une surface 

 cerclée, tous les systèmes de courbes qui divisent homographiquement les 

 génératrices circulaires. 



» La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est, on 



conservant les notations du Mémoire cité plus haut, que tang ^ soit déter- 

 miné en fonction de /, pour les courbes ainsi définies, par une équation de 

 Riccati; en d'autres termes, l'équation différentielle de ces courbes est de 

 la forme 



do . r, . „ 



T^ = A coscp + B sincp + C, 



A, B, C étant des fonctions, d'ailleurs quelconques, de /. Si l'on désigne 

 par i l'inclinaison de la ligne sur la génératrice circulaire, cette équation 

 générale se met immédiatement sous la forme 



(i) Hcotî = acosrp H- tsincp -|~ c, 



a, b, c étant aussi trois fonctions quelconques de /. 



I) Il existe donc, sur toute surface cerclée, une infinité de familles de 

 courbes répondant à la question et dont la détermination dépend de trois 

 fonctions arbitraires. On pourra chercher à disposer de ces fonctions et de 

 celles qui figurent dans la définition de la surface de manière à obtenir 

 toutes les surf;\ces cerclées dont les génératrices sont divisées homogra- 

 phiquement par certains systèmes de lignes remarquables : lignes de cour- 

 bure, lignes asymptotiques, etc. Une pareille étude doit faire l'objet d'un 

 Mémoire étendu; je me contenterai de signaler ici quelques conséquences 

 immédiates de l'équation de condition (i). 



)) II. L'équation H = o fait connaître sur le cercle générateur quatre 

 points remarquables; ces quatre points décrivent sur la surface une ligne 

 suivant laquelle elle est inscrite à une développable focale, et cette ligne 

 est, comme on sait, une ligne de courbure (D.vrboux, Sur une classe remar- 

 quable des courbes, p. 11). 



)) Par ces quatre points passent trois couples de droites que j'appellerai 

 sécantes focales, et l'étude de ce quadrilatère complet donnerait presque 

 toutes les propriétés importantes des surfaces cerclées. 



» En particulier, les surfaces enveloppes de sphères et les surfaces à 

 focale isotrope sont caractérisées par cette propriété commune que deux 

 des sécantes focales coïncident. Ceci posé, on reconnaît sans peine que si 



