( 56 ) 

 deux familles de courbes orthogonales répondent à la question, le second 

 membre de l'équation (i) doit se réduire à un facteur de H^ pour l'une 

 des familles et à un autre facteur de H' pour la seconde. De là le théorème 

 suivant : 



» Théorème. — Sur toute sur/ace cerclée il existe trois, et seulement trois, 

 systèmes doubles de courbes orthogonales telles que les lignes de chaque famille 

 divisent homo graphiquement les génératrices circulaires. Chacun de ces systèmes 

 correspond à un couple de sécantes/ovales opposées. 



» 111. J'ajouterai les théorèmes suivants, dont la démonstration est 

 immédiate, d'après l'équation (i). 



)) Théorème. — Pour que les lignes de distance nulle divisent homographi- 

 quement les génératrices circulaires, il faut et il suffit que la surface soit en- 

 veloppe de sphère ou à focale isotrope. 



» Il suffit, pour s'en convaincre, d'observer que les lignes de distance 



nulle ont pour équation 



tangf' = y — i . 



» Théorème. — Sur les surfaces à focale isotrope et sur les enveloppes de 

 sphères, les génératrices sont divisées homo graphiquement par toute famille de 

 courbes telle que l'inclinaison sur la génératrice reste constante le long de celle- 

 ci, cette inclinaison pouvant d'ailleurs varier suivant une loi quelconque d'une 

 génératrice à une autre. 



» Sa réciproque est vraie : il suffit même qu'il existe une seule solution 

 de cette nature (') pour qu'on puisse affirmer que la surface rentre dans 

 une des deux classes simples pour lesc[uelles deux sécantes focales coïnci- 

 dent. 



» Théorème. — Pour qu'une surf ace focale isotrope soit divisée homogra- 

 phiquement par ses deux systèmes de lignes de courbure, il faut et d suffit que 

 cette surface soit anallagmatique . 



» En effet, les lignes de courbure étant nécessairement réelles, il faut 

 décomposer, d'après le théorème (i), H- en doux facteurs réels, et, comme 

 H est ici linéaire en simp et coscp, il faudra poser 



Hcot/= m, 



(' ) En dehors, bien entendu, de trajectoires orthogonales des génératrices. 



