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 Soit maintenant Y une seconde intéi<ial(' obtenue en remplaçant x par 

 or -+- II, et C par C 4- /", on aura 



o(Y,Y')=..x-+A, 



par conséquent, 



i Y = F (/../•. r,r'). 

 '^ ■ ) Y'=F,(/j.X-,y,y). 



Relativement à y et y, les équations ( K ) {léfjiiissent manifestement un 

 groupe continu de transformations à deux paramètres h et k, et il est clair 

 que la substitution infinitésimale relnti\e à l'accroissement th du para- 

 mètre h sera 



1 (5y = y }i/i , 

 (S) ) -^ ■ 



)) Ces- remarques évidentes faites, supposons d'une manière générale 

 que l'équation différentielle proposée admette un groupe ( E ) de transfor- 

 mations avec les deux paramètres h et /.-, en faisant toutefois l'hypothèse 

 que la transformation infinitésimale correspondant à h soit précisément la 

 substitution (S, ). Désignons alors |)ar 



la seconde transformation infinitésimale. 



), Tout d'abord, puisque (S, ) et (S,) définissent un groupe de transfor- 

 mations, nous aurons identiquement, d'après les principes de M. Lie sur 

 les groupes de transformations, 



a et fi étant des constantes. 



» iMais il faut écrire en outre ipie la sidjstitution (S, ) est une tran.sfor- 

 mation infinitésimale pour- l'équation proposée. On trouve de suite les 

 deux équations précédentes, sauf (pu- les seconds membres sont égaux 



