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 direction tle l'action totale œste parallèle à une même droite sue tout le 

 parcours d'une ligne halysiqne. Cette ligne possède une branche hyperbo- 

 lique, dont l'asymptote est parallèle à cette droite et passe par le centre 

 de gravité des points M ; elle pent comprendre, en outre, un certain nombre 

 d'ovales ou courbes fermées. 



» Les lignes isodyna/niques et les lignes Imlysiqnes ne peuvent m'oir de 

 points singuliers (isolés on nodaux) que sur les points-racines de l'équation du 

 degré 2 ( /> — 1 ) 



(5) |FX = )r = F(.)F''(». 



» L'action totale des points M ne peut devenir niaximum ou minimum que 

 sur ces ombilics. 



» Cette dernière observation conduit au théorème suivant : 



» Théorème. — Lorsqu'une ligne halysique ne passe pai aucun ombilic : 



» 1° Za branche hyperbolique passe au moins par un point M et contient 

 un nombre de points M' inférieur d'une unité à celui des points M; 



» 2° Chaque ovale contient autant de points M' que de points M, le nombre 

 des points de chaque espèce étant au moins égala l'unité; 



» 3" Il y a toujours un point M' et un seul entre deux points M consécutifs, 

 soit sur la branche infinie, soit sur une ovale. 



1) Dans le cas particulier oii il existe des racines multiples de ¥{z) on 

 deF'(:), les points correspondants figurent parmi les points-racines de 

 l'équation (V); ils constituent alors des ombilics-pivots commune, 'a tontes les 

 lignes halysiques. Le théorème précédent s'étend aur lignes halysiques qui 

 passent par des ombilics-pivots sans passer par d'autres ombilics. 



» Si tous les points M sont situés sur une droite, cette droite contient 

 aussi tous les points M'; elle constitue à elle seule la ligne halysiqne cor- 

 respondant à sa direction, et ne peut contenir aucun ond)ilic différent des 

 ombilics-pivots. I.e théorème de RoUe se présente alors comme un cas 

 particulier du ihcorème général que nous venons d'énoncer. 



» Ce théorème général peut s'étendre, par voie de continuité, aux lignes 

 halysiques de transition qui passent par des ombilics proprement dits; 

 mais il n'en est ainsi qu'à la condition de suivre sur la ligne de transition 

 les parcours, brusquement coudés sur les ombilics, qn'indicpie l'une ou 

 l'autre des lignes halvsiques immédiatement précédente et sui\ ante. « 



