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AXALYSi: MATHEMATIQUE. — Sur une géiinalisaliori du principe de Dirichlet. 

 ^Q\Q (le M. RiE.MA\.\, présentée par M. Hermite. 



« Soit S une aire plane dont le contour s est formé extérieurement par 

 une ligne fermée simple T.^, intérieurement par n — i lignes fermées sim- 

 ples L,, Lo, ...,L„ ,, extérieures les unes aux autres. Je suppose cpi'à 

 cette aire s'applique le principe de Dirichlet. Il est dès lors facile d'établir 

 le résultat suivant, déjà énoncé par M. Schwarz en 1870 : 



)) Transformons par des coupures C,, C„, . . ., C„_,, assujetties à ne pas 

 se rencontrer, l'aire S en une aire simplement connexe S,. Nous appelle- 

 rons bord droit de la coupure C, le bord ([u'on a à sa droite quand on par- 

 court cette coupure de L, à L„. A chaque coupure C, faisons correspondre 

 un nombre X,. il existe une fonction V (a;, v) et une seule jouissant des 

 trois jiropriétés suivantes : 



I" Elle est harmonique (^' j dans S,. 2^' Elle prend des valeurs détermi- 

 nées, ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres, sur les 

 deux bords de chaque coupure C,. Ses valeurs sur le bord droit dépassent 

 de la quantité constante k, ses valeurs sur le bord gauche. Enfin ses déri- 

 vées partielles prennent les mêmes valeurs sur les deux bords. 3" Elle 

 prend en chaque point de s ime ^aleur qu'on peut se donner arbitraire- 

 ment à l'axance, à condition que, siu' chacune des lignes dont se compose 5, 

 cette valeur varie d'une manière continue tant qu'on ne franchit aucune 

 coupui'e, et varie brusquement de ki lorsqu'on franchit C,. 



1) Dans une I^ettre adressée en 1882 à i\I. Klein (-), JM. Schwarz dé- 

 montre cette proposition en s'aidant du beau procédé alterné dont il est 

 l'inventeur. Voici une autre manière d'établir le même résultat : Supposons 

 qu'il existe une telle fonction V(.x-, y). Soit Vi le coefficient de \J — i dans 

 la fonction log(s — h,), h, étant l'affixe d'un point intérieur à L,-; c,- est une 

 fonction uniforme dans S,, pourvu que Ion fixe sa valeur en un point 

 particulier de cette aire. Si l'on considère maintenant la différence 



"^'C^-'j)-^.!^^''-' 



(') C'est-à-dire : elle est uniforme et continue, elle admet des dérivées partielles 

 des deux, premiers ordres, également uniformes et continues; enfin elle vérifie l'équa- 

 tion A\ =: o. 



(-) Malheinalische iniuden, l. \\l, y. i.jj et suiv. 



