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on reconnaît sans peine qu'elle est harmonique dans S et qu'elle prend en 

 chaque point de ^ une valeur déterminée, différence entre la valeur donnée 

 et celle de la tourtion 



1=1 

 D'après le principe de Dirichlet, il y a une fonction 



et vine seule satisfaisant à ces conditions. rn>ersement, la fonction 



; = (I - 1 



V(.:r, y) = w(a;,j)+ ,^ V k^Vi 



1 = 1 



a toutes les propriétés conteiuics dans l'énoncé. 



)) Ce résultat permet de démontrer le théorème suivant, qu'on peut 

 Rpp'^\er principe de Dirichlet généralisé : 



)< Marquons sur le contour s un nombre limité de points A, que nous 

 appellerons les points singuliers de contour. Il existe une fonction V(a', y) 

 possédant les trois propriétés suivantes : 



» i" Elle est harmonique dans S. 2° Elle prend en chaque point non 

 singulier de s une valeur qu'on peut se donner à l'avance, mais assujettie à 

 varier d'une manière continue tant qu'on ne rencontre aucun point singu- 

 lier. Nous admettrons, en outre, que celte valeur tend vers une limite 

 quand on s'approche indéfiniment d'un point singulier A en marchant 

 dans le sens positif, et vers une autre limite quand on s'en approche indé- 

 finiment dans le sens négatif; soit S l'excès de la première limite sur la 

 seconde. 3° Elle conserve une valeur finie dans le voisinage d'un point sm- 

 gulier de s. 



» Soit a l'affixe du point A, et soit a l'angle, compté à l'intérieur de l'aire, 

 que font les tangentes aux deux branches de s issues de A. Désignons par 

 «0, «0' "ô' ••• ^'^^ affixes des points singuliers situés sur L„ ; par o,, a[, 

 à-, ... les affixes des points singuliers situés sur L,. Supposons qu'U existe 

 une fonction U possédant les propriétés de l'énoncé. Transfoi-mons l'aire S 

 en une aire simplement convexe S, par des coupures C,, C^, ..., C„_, , 

 assujetties à ne pas se rencontrer et à ne passer par aucun point singulier. 

 Soit u le coefficient de \ — i dans log( z — a); u est une fonction uniforme 

 dans S,, si l'on a eu soin de fixer sa valeur poui- un point particulier de 



