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cette aire. Enfin, soit 



> = n 1 



" = l«--l"-^l"---2e".-|'';-|":---V 







;= 1 



» La différence U — U', si l'on fait abslraction des points singuliers, 

 possède les propriétés de la fonction que nous avons désignée par 

 Y{x, y). En chaque point non singulier de s, elle prend une valeur déter- 

 minée. Cette valeur ne subit pas de discontinuité aux points singuliers. 

 De plus, on a 



Vï,- 7.,. a,. ' J 



» Enfin, cette fonction conserve une valeur finie dans le voisinage d'un 

 point singulier. Si l'on admet qu'elle prend une valeur déterminée en un 

 tel point, elle a pour expression 



i= «—1 



1 = 1 



w étant déterminé sans ambiguïté, et la fonction TJ cherchée a pour 

 expression V + U'; réciproquement, on reconnaît que la fonction ainsi 

 construite répond aux conditions de l'énoncé. 



» Il resterait à prouver qu'il n'y a qu'une telle fonction. Cette question 

 est très délicate. M. Schwarz (' ) l'a traitée en 1872, mais seulement pour 

 le cercle, et ce n'est que tout récemment que M. Harnack (^ ) a établi la 

 proposition pour une aire quelconque. Faisons observer qu'elle cesse d'être 

 vraie dès que l'on supprime la troisième condition de l'énoncé. Soit, par 

 exemple, -, = F(r ) = P H- Q y - i une fonction représentant une aire 

 simplement convexe S sur la moitié supérieure du plan des z^. La fonc- 

 tion Q est harmonique dans S et prend la valeur zéro en chaque point de 

 s, à l'exception d'un point, et pourtant elle n'est pas nulle dans S. » 



(') Journal de C relie, t. 7'i, p. 233 et suiv. 



(') Die Gruiidlagen der Théorie des logariliinuschen PoLeniialcx, p. 34 et l\i. 



C U., 188S, I" Semestre. (T. CVI, N° 2.) ^7 



