( i57) 

 à la courbe C„, (ou à la suit'ace cherchée S,,,) une courbe C, (ou nue sur- 

 face auxiliaire S,), dont le rôle et l'emploi ont été précisés. Les trois con- 

 ditions essentielles auxquelles ces adjointes doivent satisfaire sont : 

 1° d'être générales dans leur degré; 2" de n'absorber à leur profit aucun 

 des points qui sont donnés pour la détermination de C,„ (ou S,„); 3" de 

 former une branche isolée de C,„+, (ou une nappe de S,„^,), de façon qu'il 

 suffise, une fois le résultat obtenu, de faire abstraction de cette auxiliaire, 

 de l'éliminer en quelque sorte, et de ne conserver que la courbe de- 

 mandée C,„ (ou surface S,„), qui se trouve ainsi satisfaire, par les seules 

 données qui lui sont propres, aux conditions qui lui sont imposées par l'é- 

 noncé du problème. Or, pour que C„,+, (ou S,„+,) soit décomposable en 

 deux courbes C,„+ C, (ou deux surfaces S„-t- S,), il faut que le nombre 

 des points qu'on prend arbitrairement [en sus des points donnés pour 

 C„ (ou S,„)], afin de compléter sa détermination, soit plus grand à' une unité 

 que le nombre des intersections d'une Q avec une C,„+„ ou, s'il s'agit de 

 surfaces, plus grand d'une unité que le nombre des points par lequel se 

 détermine la courbe d'intersection d'une S, avec une S,„^.,, le point en ex- 

 cédent étant supposé étranger à cette courbe, ce qui est toujours permis. 

 M Donc, dans le cas des courbes, il faut que i satisfasse à la relation 



{'n-wi){m + t + -i) _ mun + i) ^ .^^ _^ .. ^ ^ . 

 ■2 ■'. ■ ^ 



d'où l'on déduit l'équation de condition 



î'^— 'jt-}- 2 — 



et. par suite, 



.,_ 3±i 

 y. 



c'est-à-dire 



1 = 1 et « = 2. 



Toute valeur de i, autre que i ou 2, doiuierait pour C,,,^., une courbe non 

 ilécomposable et, par conséquent, ne répondant pas aux exigences de la 

 question. 



)) Dans le cas des surfaces, il faut que la différence analogue 



(m + t -n)(»t + f-<-2)(m + i-\-Z) _ _ f (w-l-i)(m + 2)(m-h3) _ "J 

 6 L ti J 



soit précisément égale au nombre par !c(|ucl se détermine la courbe d'inler- 



