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section d'une S, avec une S,„^,, augmenté d'une unité. C'est ce qui a toujours 

 lieu, quel que soit i; car, ainsi que l'a prouvé Jacobi (Journal de Crelle, t. 15, 

 p. 299), ce nombre est égal à la différence écrite ci-dessus, diminuée 

 d'une unité. 



» Dans ces conditions, propres aux surfaces exclusivement, rien n'em- 

 pêche plus le maximum cherché A d'atteindre sa limite extrême, qui est 

 évidemment exprimée par le plus grand entier contenu dans le quotient 



du nombre ^^ — ^-^ divise par 4 . ou p'us simplement 



dans — ^) d'après la notation que j'ai adoptée. Car i pouvant être un nombre 



entier quelconque, positif, il iurive nécessairement que, pai'mi l'infinité 

 des valeurs de i, il en existe pour chacune desquelles une valeur conve- 

 nable de n (degré d'un des faisceaux générateurs de S,„^,) permet de réali- 

 ser ce maximum, d'autant plus aisément qu'on a, en outre, la ressource 

 facultative d'admettre dans l'une des bases (concurremment avec des points 

 simples destinés à se superposer à pareil nombre de points simples de 

 l'autre base pour engendrer des points doubles) un certain nombre de 

 points doubles, tout formés, auxquels ne se superposeront par conséquent 

 aucun point de l'autre base. On parvient ainsi sans difficulté, avec un peu 

 d'habitude de ce genre de calcul, à compléter les deux bases (par équi- 

 valence ou non) sans recourir (ce qui est interdit) à d'autres points simples 

 qu'aux points inconnus X, et, s'il y a lieu, qu'aux un, deux ou trois points 

 (oc) qui, selon les cas, restent seuls disponibles parmi les points simples 

 donnés, puisque l'énoncé même du problème a converti et absorbé tous 

 les autres en points doubles (^). 



» Quant à déterminer a priori, pour chacjue valeur donnée de m, la va- 

 leur propice de /;, il faudrait savoir résoudre, en nombres entiers, des équa- 

 tions (assez complexes) du troisième degré, ce que l'Analyse indéterminée 

 ne donne pas le moyen de faire. Au reste, je le répète, il suffit d'un peu 

 d'exercice pour trouver n, ainsi que la composition des deux bases, sans de 

 longs tâtonnements, lorsque m est donné. 



)) III. En résumé, si l'on désigne, selon l'usage, parla notation E( -7^ j le 



plus grand nombre entier contenu dans le nombre fractionnaire entre les 

 parenthèses, on a le théorème suivant : 



» Théorème L — Le nombre maximuin des points doubles qu'il est permis 

 d'attribuer arbitrairement à une surface algébrique de degré m (m > 4). 



