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surfaces sur lesquelles on peut trouver de pareils systèmes de coor- 

 données? 



» Supposons, en particulier, que .r, y, = soient des fonctions rationnelles 

 du paramètre p. Les équations différentielles en question peuvent être 

 ramenées à la forme entière par rapport à (î et P'. Elles sont du second 

 degré en p'. 



» Dans ce cas, elles doivent avoir la forme suivante 



(i) • p'^-+-/^.(a, p)[i'H-/^,(a, [i) = o. 



p.,, p^ étant des polynômes entiers en p, de degrés deux et quatre au plus. 

 Résolvons l'équation par rapport à p'; ou le polynôme en fi sous le radical 

 dans les valeurs de P' est un carré parfait, et l'on est ramené à deux équa- 

 tions de Riccati (la relation entre jî etp' estdécomposable); ou ce polynôme 

 a deux racines égales et les deux autres distinctes (la relation est de 

 genre o); ou il a ses quatre racines distinctes (la relation est de genre i). 

 Il faut, dans ces deux cas, que les valeurs de [î qui annulent le radical soient 

 des intégrales de l'équation. Toutes ces conditions sont nécessaires et 

 suffisantes. 



» Si, inversement, p est fonction rationnelle de x, y, z, ces conditions 

 s'interprètent géométriquement : il faut et il suffit que les points de rebrous- 

 sement des lignes étudiées et leurs points de contact avec des lignes 

 a = const. soient distribués le long de certaines lignes a = const. 



» Prenons, comme application simple de ces considérations, le cas des 

 surfaces réglées 



» On supposera ces surfaces non développables. I/équation des lignes 

 asvmptotiques (distinctes des génératrices rectilignes) est une équation de 

 Riccati, et celle des lignes de courbure peut être ramenée à la forme (i). 

 Il devait en être ainsi ; car, si l'une de ces lignes est tangente à une géné- 

 ratrice, il en est de même en tous les points de cette génératrice, qui est 

 alors une droite parabolique ou isotrope de la surface. 



» Appliquons les autres conditions à l'équation des lignes de courbure. 

 Nous supposerons que la surface, nondéveloppable, n'est ni à génératrices 

 rectilignes isotropes ni à plan directeur. Le cône des directions asym- 

 ptotiques le long d'une génératrice est du second degré. Il existe alors sur 

 chaque génératrice quatre points où les lignes do courbure sont tangentes 



