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entre elles, et aussi à l'asymptotique, la taiigenle commune étant d'ailleurs 

 isotrope. H faut exprimer, ou que ces points sont deux à deux confondus; 

 ou que doux sont confondus, tandis que les deux autres décrivent chacun 

 une ligne de courbure; ou que les quatre, distincts, décrivent chacun une 

 ligne de courbure : cette ligne sera rainima. 



» Or, si une ligne de courbure d'une surface est minima, ou elle est une 

 droite isotrope de la surface, ou bien le long de cette ligne les normales à 

 la surface sont isotropes; tous les points vérifient l'équation 



I +/r -;-</== o, 



et la ligne est orthogonale à toute ligne tracée sur la surface qui la ren- 

 contre. Les réciproques sont d'ailleurs vraies. 



» Les surfaces réglées cherchées seront donc celles qui satisfont à l'un 

 des groupes de conditions suivants : 



» i" Le cône des tangentes asymptotiques le long des génératrices est 

 de révolution. 



>> 2° Le cône est tangent au cône isotro[)e et la surface admet, ou deux 

 directrices rectilignes isotropes, ou bien une directrice isotrope et une 

 trajectoire orthogonale minima de génératrices, ou bien deux de ces trajec- 

 toires. 



» 3° Elle admet quatre directrices isotropes, ou trois directrices recti- 

 lignes isotropes et une trajectoire minima, ou deux droites isotropes et 

 deux trajectoires. 



» On exprime aisément ces conditions avec un choix de notations et de 

 variables convenable. On remarque que la ligne i -h /?'- -t- r/- = o coupe 

 chaque génératrice rectiligue en deux points, qui tracent sur la surface deux 

 hgnes distinctes, et l'on arrive aux résultats suivants : 



» Dans le premier groupe sont comprises les seules surfaces réglées 

 pour lesquelles la ligne de sli-iction est une ligne de courbure, le long de 

 laquelle la courbure de la surface est constante. Si p désigne la distance 

 d'un point d'une génératrice au point situé sur la ligne de striction, les 

 lignes p = const. forment une première série de lignes de courbure, qui 

 comprend les lignes i + p- -h q- = o. Celles de la seconde sont données 

 par une équation de Riccati, dont on n'a aucune intégrale. Le cône direc- 

 teur de ces surfaces est arbitraire. Comme cas particulier, on trouvée les 

 surfaces du second degré de révolution. 



» Dans le deuxième groupe, les surfaces sont imaginaires, à l'exception 

 des surfaces du second degré. 



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