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» Dans le troisième groupe sont les seules surfaces du second degré. 

 On vérifie bien en effet, conformément à la théorie, que, si on les rapporte 

 à leurs deux systèmes de génératrices rectilignes, l'équation différentielle 

 des lignes de courbure est une équation d'Euler. 



» Restent les surfaces à plan directeur : le cône des tangentes asym- 

 ptotiques est remplacé par un plan. Si ce plan est tangent au cône isotrope, 

 les surfaces sont imaginaires, étant excepté le paraboloïde elliptique. Si 

 les lignes à normales isotropes sont minima, on a l'hélicoïde à plan direc- 

 teur. Dans les autres cas, le paraboloïde est la seule surface réelle. Si la 

 surface est développable ou à génératrices isotropes, on a immédiatement 

 les lignes de courbure. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une formule d'Arithmétique. 

 Note de M. Lekcii, présentée par M. Hermite. 



« L'équation 





V = 1 ). = t V = 1 



facile à obtenir, conduit à la formule 





(•;) 



O =0 



A-1 



4- ^ ['K"^ + "^■«' '>^ - i) - X('« + ^■''•' «)] = O' 



dans laquelle ^{p, q) représente le nombre des diviseurs de p supérieurs 

 à q el-/{p, q) celui des diviseurs de p non supérieurs à 7 et où le symbole 



(— ) représente le plus grand nombre entier inférieur à —, de sorte que 



— ) = I, si 7H est un myltiple de a. On suppose ensuite k^^i, tn^/c. 



» Posant a ~ I et changeant k en k + 1, cette formule devient 



(2) y '!'(/« — a, /: -H 5) -1- y i(_7/î -I- A, ■>. — [)=,(■ -^ m. ^^I, 



