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 » Oa voit d'abord que, entre deux solutions quelconques du sys- 

 tème (i), 



j, = a, , y, = aj 7„ = a„, 



on a la relation 



-I l-*! 



o^. + . . . -H a„;i,, = const. 

 )) En particulier, pour toute solution de ce système, on aura 



a^ -)- a!; -+-... + aj; = const., 



et il est aisé de voir que cette propriété caractérise les systèmes dont il 

 s'agit. Il résulte aussi de là que, si l'on connaît n — i solutions linéaire- 

 ment indépendantes, on pourra écrire immédiatement la solution géné- 

 rale. 



» Soient 



[ a,, a., a„, 



Po P. ?«. 



(3) 



7. 1 , Aj, . . , >,„, 



les coefficients, /o/2C</o/iJ de la variable x, d'une substitution orthogonale 

 à n variables. Si, dans les équations (i), on fait le changement de va- 

 riables 



(4) r,-= a,-s, +• p,r. ^-...-l-\■-„, (i=i,2, ..,n), 



on aura, pour déterminer les fonctions z^, un système d'équations de même 

 forme que le système (i ). On le vérifie sans difficulté par le calcul ; mais 

 c'est aussi une conséquence de la propriété qui vient d'être signalée. Cela 

 posé, supposons que l'on connaisse une solution du système (i) 



telle que la somme 2 5Cj' ne soit pas nulle. On peut évidemment supposer 

 que cette somme est égale à l'unité; et l'on pourra toujours trouver, d'une 

 infinité de manières, quen(« — i) quantités fi,, y,, .... ).; forment, avec 

 les a,, les coefficients d'une substitution orthogonale. Faisons alors la substi- 

 tution définie par les formules (4); le nouveau système d'équations devra 

 admettre l'intégrale ;, — const.; et la première équation de ce système se 



