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 correspondant chacun à chacun, on ne peut plus disposer d'aucune autre 

 quantité arbitrairement. 



» III. Comme le nombre des points simples (ou multiples par équiva- 

 lence) qui détermine les deux bases B„, B„' de deux faisceaux, augmenté 

 de trois unités, est (sauf lorsque n + n' est égal à 2 pour les courbes géné- 

 rales dans leur degré, ou pour les surfaces réglées du second degré) 

 toujours moindre que celui par lequel se détermine une courbe (ou sur- 

 face) de degré n 4- n', il s'ensuit que la génération de celle-ci par deux 

 faisceaux projectifs serait irréalisable, s'il ne devait entrer dans les bases 

 de ces faisceaux que des points donnés. Il n'en est plus de même, si l'on y 

 admet des points inconnus, que les données restantes serviront à déterminer; 

 car, chacun d'eux exigeant pour sa détermination deux équations sur le 

 plan, ou trois équations dans l'espace, et chacun des points donnés, qui 

 restent en excédent de ceux employés, fournissant une telle équation, on 

 voit que ces points disponibles, dont le trop grand nombre embarrassait 

 d'abord, peuvent être tous épuisés au profit direct de la solution cherchée 

 si, après en avoir réservé trois pour établir la « correspondance anharmo- 

 » nique » on projectivité des deux faisceaux, il en reste juste deux fois autant 

 (s'il s'agit de courbes), ou trois fois autant (s'il s'agit de surfaces), qu'on a 

 dû introduire de points inconnus dans les deux bases ensemble. 



« Chasles eut, le premier, l'idée d'admettre comme l'inconnue du pro- 

 blème le point-base du faisceau de droites, dans la construction qu'il 

 donna, en i853 {Comptes rendus, t. XXXVI), de la courbe générale du 

 troisième ordre, et qui eut dans la Science un légitime retentissement. 

 Pour aller plus avant dans cette voie, il fallait ajouter que le point in- 

 connu (car il en faut un, et un seul, dans ce problème particulier) peut 

 tout aussi bien être attribué à la base du faisceau des coniques qu'à celle du 

 faisceau des droites, comme je le fis voir, trois ans plus tard, en donnant 

 plusieurs solutions du problème de la construction de la courbe générale 

 du quatrième ordre et de la génération, par faisceaux projectifs, des courbes 

 algébriques de tous les degrés, tant générales que particulières. C'est cette 

 même conception, présentée et développée dans Y Essai sur la génération 

 des courbes géométriques, qu'après une longue interruption dans cet ordre 

 de recherches, j'ai reprise récemment pour l'étendre aux surfaces algébri- 

 ques et aux courbes unicursales dont tous les éléments peuvent être pris 

 arbitrairement ('). Lorsque le nombre des points inconnus n'excède pas 



(') Il s'agissait, bien entendu, des courbes unicursales dont les éléments, numén- 



