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OÙ tout est donné, ou connu par l'équation (i), on trouve aisément 



(5) „='-_VZ___Z^l_, 



d'où l'on voit que la quantité sous le radical doit être le carré parfait d'un 

 nombre entier qui, ajouté à p (ou retranché de p), donne pour somme 

 (ou différence) un nombre pair, ce que l'analyse indéterminée sait faire. 



» Soit, comme application, m= g, d'où Dg = 2i9et:^ = Ef ^^ | = 54 , 



avec a = 3 . 



» Il s'agit de prouver qu'on peut et de montrer comment on doit 

 engendrer une surface du neuvième degré possédant 54 points doubles 

 désignés arbitrairement. 



» On voit promptement que i ne peut être i, ni 2, ni 3, parce que les 

 bases ne pourraient contenir tous les points nécessaires. Mais rien ne s'op- 

 pose à ce que l'on prenne i^4- Adoptant donc ce nombre, au moins 

 provisoirement, on a successivement 



m -\-i — p = g -h ^ = i3 : 0,3 = 559 

 et 



A = D,3-4A- 3 =3^0. 



» Pour que 34o devienne un multiple de 3, comme l'exige l'équation (i), 

 il faut le diminuer d'une unité, c'est-à-dire prendre/ = i , ce qui est per- 

 mis, puisque a, nombre des points disponibles, est ici égal à 3. On a en- 

 suite X = 1 13, par cette même équation. 



» Avec ces données, l'équation (5) donne, avec à^ = 4o> 



O11 Jn ~T~ J^ 



iSitv'^iôq — 120 i3±7 „ 



n = — ^ = ^ =10 ou 3 . 



2 2 . 



c'est-à-dire « = 10 et n' = 3. On obtient ainsi la solution cherchée (i étant 

 égal à 4) : ■ 



j B,„ = [4o((l) H- i4(('?, ) -h I (.:) ^- i09(^)J = 284, 



1 B3 = [ i4(J5,)+4(^) 1= 18. 



» En second lieu, supposons que le problème à résoudre concerne le 

 maximum des points quadruples qu'on peut attribuer à S^. On a dans ce 

 cas, par le théorème II {Comptes rendus, p. t6o ), 



