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 p'^ désignant la probabilité de passer en une partie de l'état (^, •m — k) à 

 l'état (/, in — i). 



)) Or on voit avec un peu d'attention quc/)''^' est égal à i, et que pour 

 les autres valeurs des indices p\ est égal à ~ ou à zéro suivant que la va- 

 leur absolue de / — li est égale à i ou diffère de i. D'après cela, la for- 

 mule (i) donne les n relations 



(3) 



2?» ([^--+- r) = ?„-,(;A), 



2o„_, (;x + [) = o„_.(;j. ) -4- 2 9„(;j.). 



2(p„_, (<J. -h l) = 0,,-z{[J-) + ?„-, (l^-)- 



• 1 



2Çp2( |J. + l) = <p, (.7.) -f- 0;{[1.), 



•JO,(a H- i) = cp2([j.); 



d'où il faut tirer cp, (;-/.); car, cette quantité étant connue, on aura, pour la 

 probabilité cherchée, P = ^ç, (j;. — i). 



» Or, si l'on adjoignait aux équations (3) celles qu'on obLient en chan- 

 geant a en [j. -\- I dans la seconde, [j. en a + i, a -+- 2 dans la troisième, 

 . . . , 'j. en u + 1, 7.-1-2, ..., a -I- rt — I dans la dernière, on aurait 

 ,'/?(« -H i) relations qui, par l'éliminalion des :,«(/; -t- i) — i quantités o 

 dont l'indice diffère de i, conduiraient à une équation de la forme 



(4) ?, ([^. -h n) H- A , o, [[j. + « - i) -■;-... -H A„9, (;a ) = o. 



D'ailleurs, si a,, a., . . . , «„ désignent les racines de l'équation caractéris- 

 tique que l'on obtient en faisant dans (4) o, {\j.') = a'^, l'expression générale 

 de cp, ([j.) sera Ici^a^, et par suite la valeur de P sera r^lCj^a^'', les constantes 

 C|, c.,, ..., c„ étant déterminées par les conditions initiales du problème. 

 » Cette détermination se fait élégamment de la façon suivante : d'abord, 

 ni Pierre ni Paul ne peuvent être ruinés avant la fin de la /i"'""' partie; 

 d'autre part, la probabilité pour que le jeu cesse juste après la «'<■'"'•• partie, 

 c'est-à-dire la probabilité pour que Pierre ou Paul perde n fois de suite 



est — -\ = 7- La somme 7, i"~'Ci,a\ est donc nulle pour i=o, i, 



■2, . . ., n — 2, et égale à l'unité pour / = « — i . Mais on sait par la théorie 

 des fractions rationnelles que, si l'on désigne par A/t le produit 



(«A -<■',)•• -((h — (ti. 1 H'^A - «/i M ) • • ■ (<-h - (1,.)' 



