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» Ainsi l'espérance mathématique du joueur demeure proportionnelle 

 au nombre de boules blanches à amener, et elle est égale à celle qu'il aurait, 

 dans le premier cas, avec une urne contenant simplement une boule 

 blanche de plus, et le même nombre de boules noires. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur les lignes de courbure des cyclides. Note 

 de M. G. HuMBEiiT, présentée par M. Darboux. 



« Dans son Ouvrage Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces 

 algébriques, M. Darboux a montré qu'on peut déterminer les lignes de 

 courbure de toute surface du quatrième degré à conique double quand on 

 prend pour absolu, suivant l'expression de M. Cayley, une quelconque 

 des quadriques inscrites dans cette surface. 



» Le but de cette Note est de montrer que les lignes de courbure con- 

 sidérées restent les mêmes quelle que soit la quadrique inscrite prise 

 pour absolu ; en particulier, les lignes de courbure d'une cyclide par rap- 

 port à une quadrique inscrite quelconque coïncideront avec les lignes de 

 courbure ordinaires. 



» La démonstration de ce théorème repose sur le lemme suivant : 



» Si une cyclique plane du quatrième ordre a un point double à distance 

 finie, les bissectrices de l'angle des deux tangentes en ce point sont conjuguées 

 par rapport à toutes les coniques du système singulier inscrites dans la cyclique. 



» Soit, en effet, en coordonnées rectangulaires, 



l'équation de la courbe; on peut l'écrire 



[x- + y' + la? + [j.yY = A^" + f ^r' + ( A.r + \'y)- , 



et les coniques inscrites du système singulier ont pour équation générale, 

 H étant un paramètre, 



A.T» -H Cy- ^- i'Kx 4- ay)= + •i^\x'^ --f- y- + )-.r -\- [;.y] -^ 6= = o. 



•>, Le pôle de la droite v = o par rapport à une de ces coniques vérifie 



les équations 



\x-^\{\x ~ u.v) + 0(2a?-i->.) = o, 



e(î;.T -^ ay) -I- 6^ =q: 



