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d'où l'on déduit œ -— o. Le pôle de la droite y = o est donc sur la droite 

 ce = o, quelle que soit la conique considérée, et le lenime est établi. 



» Cela posé, observons que, si l'on coupe une cyclide par un plan, les 

 coniques du système singulier inscrites dans la cyclique obtenue sont les 

 sections faites par le plan dans les quadriques inscrites à la cyclide; en ap- 

 pliquant le lemme jjrécédent à la courbe commune à la cvclide et à l'un 

 de ses plans tangents, on voit immédiatement que, en un point d'une cyclide, 

 les directions des lignes de courbure ordinaires sont conjuguées par rapport à 

 toutes les quadriques inscrites. 



)) Par suite, puisque, d'après une proposition de M. Darboux, les lignes 

 de courbure d'une surface par rapport à une quadrique sont les lignes pas- 

 sant par un point de la surface et dont les deux tangentes sont conjuguées 

 à la fois dans l'indicatrice et dans la quadrique, il est établi que : 



» Les lignes de courbure ordinaires d'une cyclide sont aussi les lignes de 

 courbure de la surface, quand on prend pour absolu une quadrique inscrite 

 quelconque. 



« Le théorème s'applique également aux surfaces du troisième ordre ; 

 les quadriques inscrites sont alors remplacées par les coniques de l'un des 

 vingt-sept systèmes situées sur la surface. Les lignes de courbure d'une sur- 

 face du troisième ordre ne changent pas quand on prend successivement pour 

 absolu chacune des coniques d'un même système situées sur la sur/ace. 



» Cette proposition, qui se déduirait d'un théorème que nous avons fait 

 connaître ailleurs, met en évidence l'existence, sur toute surface du troi- 

 sième ordre, de vingt-sept systèmes conjugués algébriques, qui jouissent 

 de propriétés importantes. 



» On peut donner des résultats analogues relativement à la surface de 

 quatrième classe corrélative de la surface du quatrième degré à conique 

 double. 



» On sait en effet que, pour obtenir les lignes de courbure ordinaires 

 d'une cyclide, il suffit de faire rouler un plan sur la surface et sur une qua- 

 drique inscrite quelconque : le point de contact sur la cyclide décrit une 

 ligne de courbure. 



» Transformons ce résultat par polaires réciproques, en prenant pour 

 surface directrice une des quadriques inscrites dans la cyclide ; nous voyons, 

 puisque les lignes de courbure par rapport à la quadrique directrice se 

 conservent dans la transformation, ainsi que l'a montré M. Darboux, que 

 les lignes de courbure de la surface de quatrième classe, corrélative de la 



