( 260 ) 



» Il peut arriver, comme premier cas, que cette suite contienne des 

 termes supérieurs à tout nombre donné A. 



)) S'il n'en est pas ainsi, il y a lieu de distinguer deux classes de nombres. 

 Dans la première, on mettra tout nombre A tel qu'il existe dans la suite (2) 

 des termes d'un rang aussi élevé qu'on le veut supérieurs à A; dans la se- 

 conde, tout nombre B, tel que tous les termes de la suite (2), à partir d'un 

 certain rang, soient moindres queB. Il est clair que, si un nombre A appar- 

 tient à la première classe, il en est de même de tous les nombres infé- 

 rieurs et que, si un nombre B est de la seconde classe, il en est de même 

 de tous les nombres supérieurs. La supposition que nous avons faite au 

 commencement de cet alinéa consiste dans l'existence de nombres de la 

 seconde classe. 



» Il est alors facile de définir, par des procédés bien connus, un nombre 

 ■t., tel que la première classe soit composée des nombres plus petits que a, 

 et la seconde, des nombres plus grands que a; en sorte que a — £(e> o) 

 appartiendra à la première classe, et oi + s à la seconde. Pour abréger, 

 nous appellerons ce nombre a la limite supérieure de la suite (2). 



» Cette limite est nulle dans le cas où la suite (2) tend vers o, et dans ce 

 cas seulement. 



)) Cela posé, pour rechercher le cercle de convergence de la série 

 donnée (i), il suffira de considérer la suite 



(3) \aX \^a..\ I v'«/«! 



» i" Si la suite {'^) contient des termes supérieurs à toute quantité 

 donnée, la série (i) n'est jamais convergente; 



.) 2° Si la suite (3) ne renferme pas de termes augmentant indéfiniment, 

 elle admet une limite supérieure a. 



» Le rayon de convergence de la série (1) est alors p = -• 



» 3° La condition nécessaire et suffisante pour que la série (i) soit 

 convergente dans tout le plan et représente une fonction entière est que 



"y«,„ tende vers zéro. 



« Je me contenterai de démontrer la seconde partie, les mêmes consi- 

 dérations s'appliquant à la première et à la troisième. 



)) Supposons d'abord que le module de la variable x soit inférieur à p, 



qu'il soit égal par exemple à — -^) s > o. 



