( ^6i ) 

 » Une règle bien connue conduit à considérer 



et à rechercher si cette quantité reste inférieure à un nombre fixe plus 

 petit que i . Or, pour m sviffisamment grand, 



I 



a 



--Ay^>^<-^' 



La série est donc convergente. 



» Supposons au contraire | a;] — --3-- Alors le terme général aura pour 

 module _ , kr> et, comme on peut trouver de très grandes valeurs de m 



pour lesquelles ] "\ a,„ | > a — j, la série (1) contient une infinité de termes 

 plus grands que i et ne peut être convergente. 



» Dans le cas où — '— a une limite x^, M. Lecornu ajoute que cette li- 



mite est l'affixe même du point singulier de la fonction o{x) représentée 

 parla série (i). Malheureusement sa démonstration est sujette à objec- 

 tion. J'ai démontré la proposition de M. Lecornu, en faisant toutefois une 



hypothèse sur la manière dont — ^^ tend vers sa limite. 



» Soit — '— =.i„ -+-£,„. .l'admettrai, non seulement que s^ tend vers 



zéro, mais que | y e„, | reste inférieur à un nombre fixe y plus petit que i . 

 » Soit alors a-' = — x^l, t étant réel et positif. Le rayon de convergence 



le la série o(x -h .v') est la limite de ,„Jn, \ — • ' si cette limite existe. 



Cl 



N Or on a 



(/t + t)<p'»)(.r') 



i«+')/-r'1 -^^ -^n 



et, pour n assez grand, 



I ^n^p 1 <. r Cl «„^, - ( .1; + î„^, ) . . . U« + e,,^^ ) - xi' 



OÙ |>^„,p| reste fini. 



