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» Voici maintenant des applications. 

 » Si H a pour surface représentative 



(i) A(z,, z,)D{z,, z,) - B(z.„ Z,)C{Z,, Z,) rr-. O, 



A, B, C, D = formes binaires d'ordres a, p, y, S, (c + ^ = [i + y = A), po- 

 sons 



s, = /cos9, z. = rsinO, :?.j — - p cosi}', ::4 = psinA; 



les courbes intégrantes ont pour équation avec nos nouvelles coordonnées 6 



etij/ 



r r B(cosO, sine) -|«-P_ / ,, 



J '^'^[A(cosO,si.iO)J -J • 



0(005']^, sinil') 

 _G(cosdj, sinij;) 



9„ ^ const. arbitraire; 





l'intégration de H se ramène aux quadratures, qu'on saura même effectuer, 

 si a. — [i = y — ^ = I ou 2, par des procédés élémentaires. Or le théo- 

 rème III permet, en choisissant convenablement u, de ramener au type(i) 

 beaucoup de surfaces, dont voici les plus simples : 



» 1° Toutes\es quadriques; H estintégrable, car oc — p = y — S = i ou 2 ; 



» 2° Toutes les surfaces cubiques réglées, pourvu que les deux droites 

 singulières de la surface soient conjuguées par rapport au complexe W. 

 Les courbes intégrantes sont les génératrices, et H est intégrable complète- 

 ment ; 



» 3° Toutes les surfaces cubiques (étudiées par Laguerre), qui con- 

 tiennent les six arêtes d'un tétraèdre, pourvu que deux arêtes opposées 

 soient conjuguées par rapport au complexe W. Les quadratures peuvent 

 s'effectuer et H est intégrable complètement. 



)) Voici une autre application : 



M Supposons la surface S réglée et à deux directrices rectilignes. Si les 

 deux directrices sont conjuguées par rapport au complexe W, les courbes 

 intégrantes sont les génératrices et H est intégrée complètement. Si les 

 deux directrices sont situées sur le complexe W, le théorème III et un 

 choix convenable de la substitution quaternaire linéaire a permettent tou- 

 jours de mettre S sous la forme 



z = X':>(y), 

 en coordonnées non homogènes. Les courbes intégrantes se projettent sur 



