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» 3. Pour les valeurs indiquées de :■ et de x, la fonction o'''(.r) est re- 

 présentée aussi par la série 



(2) ^/^'\^ + "'). »' = >■> '^-i + >-2^-2 + • • • ^^«Z^- 



w ■'•m » 



OÙ la sommation est étendue à toutes les valeurs de ).,, >.o, . . ., ■>„, entières 

 et positives ou nulles. Cette série est convergente absolument et uniformé- 

 ment pour les valeurs de x dont la partie réelle est plus grande que p. 



« Il est facile de vérifier, soit sur l'intégrale, soit sur la série, que la 

 fonction cp'"'(.z) satisfait à l'équation fonctionnelle 



( ?'^'(-ï') -2 ?"'(''^^ -^ ='■') +2 ?'"(^ + "^- + '"■•') - • • • 



( + ( - I )'" (?'=' (a; + a , + a, -H . . . + 7.,„ ) = /'^' (x) . 



V 4. En particulier, si l'on fait /(?) = I, il vient/=(.x') , et l'on obtient 

 une fonction analytique ii^^^x; a,, a,, . . . :'.,„) représentée par l'intégrale 



(4) (-0-^ ,(,37=^)' 



et par la série 



mais, comme on peut démontrer que cette dernière série est convergente 

 dans tout le plan x, excepté les points — w, il en résulte que la fonction 

 i^'-'^x) est une fonction uniforme ayant une infinité de pôles et un point sin- 

 gulier essentiel à l'infini. Le champ de validité de l'intégrale se limite aux 

 valeurs de .r dont la partie réelle est positive, et, par conséquent, est plus 

 restreint que celui de la série. La fonction ij/''\.r), outre l'équation (3^, 

 vérifie encore les équations 



i ^'••^x + a^; y.,, . . ., y.^_,, a^, a^^ a,,,) 



(^6) =(|;'='(j;;a,,...,a^_,,a^,a^+,,...,a,„) — yf-)(j;;a,,...,a^_i,a^,,,...,a,„) 



( (v = I, 2, ,-3, .. .,m) 



et admet le théorème de multiplication exprimé par 



(7) J,(^.(,Kr) = -l:,VA« a. + ^ + 



V/i */« 



