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où la somnialioii est étendue à toutes les valeurs entières de ).,, ).., . . .,■),„, 

 de zéro à « — i . Ce théorème s'établit très facilement en substituant l'iden- 

 tité 



I - e-V = ( I - e " j l 1 + e " + e " + . . . i- e " ) 



dans l'intégrale (1). 



M .5. Les fonctions générales o""' considérées ci-dessus peuvent se déve- 

 lopper en séries ordonnées selon les dérivées successives de la fonction 



» 6. On peut a[)pliqucr à la série qui représente la fonction •y"'(a) la 

 dérivation terme à terme, et l'on obtient ainsi la fonction ■i'""'"(.r). Au 

 contraire, si l'on intègre terme à terme la série (5) [lour r = ni, on obtient 

 une série divergente. 



■» ]\Iais, en appli([uant le théorème de M. Mittag-Leffler, c'est-à-dire en 



relraucliant du terme i"énéral de la série intégrale la constante -, on 



trouve une série convergente douée des mêmes propriétés de la fonction 

 ({<'=' (a;). Si l'on réitère l'intégration et si l'on applique chac{ue fois le théo- 

 rème de M. Mittag-Leffler, on aura, iqirès /n intégrations, une i'or.ction de 

 la forme 



■l (.r ; -/ , , a„ . . . , -/„, ) = R (.r) + V _J_ _ ;• ^ (,,;) J , 



oii R(j^), ''.^(ï") sont des polynômes entiers de degré m^,, et (pii vérifie 

 les équations fonctionnelles (3), (G) et (7 ). Cette fonction est la généra- 

 lisation de la fonction y(a7) de Gauss, et la méthode que je viens d'indi- 

 quer est une extension de celle suivie par ^L Hermite dans son Cours de 

 la Faculté des Sciences (3'' éd. , p. 1 1 /| ). 



)) 7. La fonction y (a-; x,, 7., -/,„), dont J^(x) est la dérivée logarith- 

 mique, est représentée par le produit d'un nombre infini de facteurs 



y(^; 7.,. a„ . . ., y.„.) = e/'"-^'"-^ JJ (^ I -+- J) e-Z'V'.-yx 



et jouit de propriétés qu'on déduit facilement des équations (3), (G) 



M Cette fonction a la plus grantle analogie avec la h)nction O qu'a étu- 

 iliée M. Âp[)ell dans son Mémoire : Sur une classe de fonctions analogues 

 aux fonctions eulériennes (Mal/i. Anna/en, t. XIX), et qui contient un 

 nombre de facteurs doubles, pour ainsi dire, de ceu\ de la fonction y. 



