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vier 1888). On voit immédiaUMiient quo cela a lieu dans trois cas seule- 

 ment : 



» i" Le numérateur de l'expression ci-dessus csl, identiquement nul: 

 la surface est une enveloppe de sphères; 



)) 2° /) = G. TvC plan du cercle se déplace parallèlement à lui-même; 



)) 3" R'= (', (r = pR. La surface est alors de seconde classe; le cercle 

 reste tangent à une courbe five et son plan coïncide avec le plan oscula- 

 teur de cette courbe. De là le théorème sui\ant : 



» Théorème. — Il existe trois sortes de surfaces dont les génératrices eo/ii- 

 (jues sont divisées homogruphiquenienl ( * ) par les lignes conjuguées. Ce sont : 



» I" L' enveloppe d'une quadrique passant par une conique et assujettie à 

 trois conditions complémentaires ; 



» 2" Les surfaces pour lesquelles la conique Jixe se réduit à deux points ; 



» 3" Celles dont la génératrice reste tangente à une courbe fixe dans le plan 

 oscillateur de cette courbe. 



» Dans le premier cas, la détermination des lignes conjuguées se réduit 

 à une quadrature; dans le second cas, ces lignes s'obtiennent sans aucune 

 intégration; le double système considéré est alors un de ceux que fournit 

 le théorème de M. Kœnigs. 



» IL Passons aux lignes asymptotiques. Les inclinaisons i' , i" de ces 

 lignes sur la génératrice sont évidemment liées par la relation harmonique 

 2 cota, =^ cotj' + coti". Si donc deux des fonctions H coli' , H coli" , II cota 

 sont linéaires en sino, coso, il en est de même de la troisième. En d'autres 

 termes, si deux de ces trois systèmes de lignes divisent hornu graphiquement les 

 génératrices coniques ou circulaires, il en sera de même du troisième. On voit, 

 en paiticulier, que les ti'ois classes de suifaci^s indiquées plus haut doivent 

 comj)rendre toutes celles pour lesquelles les deux séries de lignes asympto- 

 tiques présenteront la propriété en question. La solution s'achève sans 

 difficulté dans les tix)is cas, mais donne lieu à une discussion assez longue. 

 Je me contenterai ici de résoudre le problème dans le second cas, celui 

 où l'on np := o. L'équation des lignes asvnq)totiques (/oc. cit., p. i3o) se 

 simplifie alors, en observant qu'on peut faire en même temps r^ o, et peut 



(') 11 est clair que, par rapport anharmoiiI(]ue de quaUe poiiUs d'une coni([ue, on 

 doil entendre le raj)])ùrl anliariuonit(ue des droites qui jois^nent ces quatre points à un 

 point seulement de la courbe. L expression « diviser liouiograp!ii(|ueiiient » s e\pli(jue 

 alors d'elle-niènie. 



