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un fermatien réduit à indice impair s'il ne divise pas le dénominateur; car, 

 afin que cela eut lieu, g — i par le théorème déjà cité d'Euler devrait con- 

 tenir un facteur impair. 



M Donc un tel fermatien réduit sera de la forme -y ^ • 



)) Or nous avons vu, dans la Note précédente (p. 4o5 de ce Volume), 

 qu'un nombre 3N ±: r à (3 éléments ne peut pas être un nombre parfait, et 

 que, si un tel nombre à 7 éléments est un nombre parfait, le plus grand 

 d'entre eux ne peut pas excéder 37. 



)) Il est fiicile de voir que ce nombre doit contenir 5, parce que 



Z 11 i!.12 19 H£.£9 <' .,. 

 6' 10 12 16 18 22 " 28 ^ ' 



en effet, ce produit est moindre que 1,69. 



» Soit donc, s'il est possible, 3N ± i un nombre parfait à 7 éléments. 



)) Les nombres premiers de la forme l^x -\- i pas plus grands que 37 sont 

 i3, 17, 29, 37. Mais 17 ne peut pas être l'élément exceptionnel de 3N ± i 

 parce que la somme des diviseurs du component (') qui répond à 17 sera 

 la somme d'un nombre pair de termes de la série r + i7-f-i7-H-]7'+..., 

 laquelle nécessairement contient 3. La même chose est évidemment vraie 

 •pour un nombre quelconque, comme 2.q, qui est de la forme 12a- + 5. 



» Donc le component exceptionnel aura pour élément ou i3 ou 37; 

 mais ni i3^ — i ni 37* — i ne contient 5. Il faut donc que la somme des 

 diviseurs du component ou à l'élément 11 ou sinon à l'élément 3i soit 



respectivement de la lorme ou -7, > car 11 et 01 sont les seuls 



1 II — I 01 — I 



nombres pas plus grands que 37 de la forme 3x-\-i. Conséquemment 



1 1- • 1' ■ j j ..-i • n" — ' 3'° — ' 



tous les diviseurs d une au moins des deux quantités — ou -7^ se- 



T^ 11^ — 1 01 — I 



ront compris parmi les éléments de 3N ± i . 



» Selon notre théorème, les diviseurs ni de l'un ni de l'autre de ces deux 

 fonctions ne peuvent contenir 5 et conséquemment par le théorème 

 d'Euler seront de la forme loa; + 1. 



» Or, puisque 1 1 n'est pas un résidu quadratique de 3 1 , 1 1 ' — i ne peut 



II' — : 



pas contenir 3i; donc les diviseurs de — -— - sont compris parmi les 

 nombres 4 1 . 61, 71, i o i , .... 



(') Lu plus liante puissance d'uii élément duu nombre qu'il contient se nomme un 

 component de ce nombre. 



