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3l^ l.-l • . A ■ 1 



» y-™ contiendra i i , mais ne peut pas être une puissance (le 1 1 , car 



au module 1 1- 



45(3,^ _ i)==35 _ 45^1 _ 4' = _ I023. 

 c'est-à-dire 



— 11.93, 



de sorte que li' — i n'est pas divisible même par 1 1-. 



» Donc les diviseurs de ' __ sont aussi compris parmi les nombres 

 4t, Gi, 71, 10 



» Conséquemment il y aura au moins un élément du nombre parfait 

 3N dz 1 qui n'est pas moindre que 4i; celte conclusion est contradictoire 

 à l'existence de la limite supériem-e 37 à la grandeur des éléments. Donc 

 on peut affirmer en toute sûreté qu'un nombre non divisible par 3 qui 

 contient moins que 8 facteurs premiers distincts ne peut pas être un 

 nombre parfait. 



» Il y a une méthode un peu plus expéditive pour parvenir au résultat 

 dernièrement acquis; mais, tout de même, supprimer la première mé- 

 thode serait un procédé mal avisé, puisque son principe est applicable à 

 d'autres cas où celui dont je vais faire usage se trouverait en défaut; par 

 exemple en combinant les deux méthodes, c'est-à-dire en tenant compte 

 en même temps des conséquences de la présence de 17 quand il figure 

 comme élément, et de la présence de l'élément 5 dans le cas où 17 

 manque. Je crois avoir démontré qu'un entier 3N±i à 8 éléments 

 ne peut pas être un nombre parfait. 



» Remarquons que, puisque le produit suivant à 7 termes où 17 manque 



dans les numérateurs ~. ^. i — ^ est moindre que 1,088, un nombre 



4 10 12 18 22 28 1 ' j ' 



parfait à 7 éléments non divisible par 3 ne peut pas exister sans l'élé- 

 ment 17. Supposons qu'un tel nombre existe. Soit r, un de ses éléments 



(autre que 17). La somme des diviseurs du componcnl qui y correspond 



■fii+i [ 



sera de la forme si r, est un élément ordinaire et de la forme 



^, — I 



' \_ {■!] + i) si r, est l'élément exceptionnel. 



» Dans l'un et dans l'autre cas, cette somme ne peut contenir 17 que 

 sous la condition que rr — i soit divisible par 17. 



» Donc, puisque le produit des sommes des diviseurs des components 

 d'un nombre parfait doit contenir tous ses éléments, il existe au moins 



