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on lire aisément les suivantes 



(^) 



(3) 



1-, d.r -.dx 



■'■^ rf7 (fs 



r 'Il fllL 



•' > ds ds 



f dz jdz 



•^ - ds ds 



= O. 



/ 



p, \, \)., V désignant le rayon de conrbure et ses cosinus directeurs. 



M Si nous représentons par/; le paramètre différentiel \jf[^' -\- fl'+f'.' de 

 la fonction/et par aie cosinus de l'angle qu'il forme avec p, l'équation (3) 

 nous donne 



(4) 



? cos y. ^= 



J 



» Les équations (2) et (4), équivalentes au système des équations (i ), 

 signifient que : 



» 1° Le plan osculateur de la courbe contient la normale aux surfaces 

 de niveau de la fonction/"; 



» 2° La projection du rayon de courbure sur cette normale est la 

 même pour toutes les courbes qui passent pai" un même point; ou, en 

 d'autres termes, et eu égard à la propriété précédente, la courbure est 

 proportionnelle au sinus de l'angle d'incidence sur la surface de niveau qui 

 passe par ce point. 



» Ces équations et ces propriétés conviennent évidemment à toute 

 courbe qui rend minimum ou maximum une intégrale de la forme 

 ^J\x,y,z)ds. 



» De semblables courbes se rencontrent dans un grand nombre de ques- 

 tions; telles sont : 



» En Géométrie, la courbe qui engendre la surface de révolution mi- 

 nimum, celles dont le centre de gravité est le plus haut ou le ])lus bas 

 possible parmi les isopérimètres; celles dont le moment quadratique par 

 rapport à un plan, un axe ou un point est minimum; pour ces dernières, 

 en vertu de l'équation (4), la projection du ravon de courbure sur la dis- 

 tance au plan, à l'axe ou au point, est la moitié de cette distance. 



» En Statique, la figure d'équilibre d'un fil homogène sous l'action 

 d'une fonction des forces quelconque, ce fil pouvant être immergé dans 



