( m ) 



un fluide sollicité par une force de même nature ou de nature différente, 

 ou en équilibre relatif dans un vase tournant. 



» En Dynamique, la trajectoire d'un point libre, on généralement la 

 courbe propre à rendre minimum une intégrale f-/(v)ds sous l'action 

 d'une fonction des forces. 



» Pour le cas de x('0 = '' "' l'équation (4) donne 



p COSa = > 



' ma 



q désignant la force motrice. Pour jn = i, la courbe est la trajectoire du 

 point libre, pour m = — i , la brachistochrone. D'où ce théorème : 



» Toute brachistochrone a en chaque point son rayon de courbure égal et 

 directement opposé à celui de la trajectoire que le point décrirait s'il devenait 

 libre à partir de ce point. 



» On conclut de là que, si cette brachistochrone est à son tour la trajec- 

 toire correspondant à une autre fonction ayant les mêmes surfaces de 

 niveau (et, en effet, une pareille fonction existe toujours), cette nouvelle 

 fonction donnera pour brachistochrone la trajectoire de la première. 



» Une courbe quelconque étant donnée, on peut se proposer de cher- 

 cher une fonction f telle que J fds soit minimum ou maximum le long de 

 cette courbe. 



» Les surfaces de niveau 



9(j7, 7, :;) — a 



de cette fonction doivent satisfaire à la condition (2), c'est-à-dire être tan- 

 gentes aux binormales de la courbe donnée, ce qui comporte une extrême 

 indétermination. 



)) (p étant supposée connue et q étant son paramètre différentiel, le pro- 

 duit ypcosa a, en chaque point de la conrbe, une valeur déterminée que 

 l'on peut exprimer en fonction de 9. Soit 



on aura 



') Ainsi, pour chaque système de surfaces de niveau, il existe une fonc- 

 tion et une seule qui répond à la question. 



» En prenant cette fonction pour représenter la vitesse, et jjar consc- 



