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nous proposons ici d'énoncer {') qiieUpics théorèmes qui aiigmcnLeiiL le 

 rendement de cette règle ou simplifient les calculs. 



» Rappelons d'abord l'énoncé de la règle de Newton, en laissant de côté 

 cei'tains cas ambigus : 



» Etant donnée l'équation algébrique numérique 



(i) Ao^;'" + A , ,r'"-' + k.x"'-- + . . . + A,a;"'-'- + . . . -4- A„, = o. 



SI l'on pose 



(^) 

 (3) 



puis qu'on écrive la suite des signes que prend la fonction quadratique B^ pour 

 r=o,i,2,...,m, l'équation a au moins autant de racines imaginaires qu'il 

 Y a de variations dans cette suite. 



» r' n'est autre chose que le nombre de termes qui suivent A^. dans 

 l'équation complète, de même que r est le nombre des termes qui pré- 

 cèdent. Pour les valeurs extrêmes /= o ou m, 1, au lieu d'être donné par 

 la formule (2), est égal à i . 



» 2. La règle a été complétée par Newton de manière à dire si les 

 racines imaginaires qu'elle révèle existent aux dépens des racines posi- 

 tives ou des négatives; en un mot, elle donne le moyen d'abaisser la limite 

 de Descartes. Pour cela, écrivons la suite des coefficients, et, au-dessous, 

 la suite des fonctions quadratiques correspondantes. Nous dirons, a\ec 

 M. Sylvester, que ces lignes présentent une variation double, lorsque deux 

 variations se correspondent dans les deux lignes. Clela posé, en formant la 

 limite de Descartes, on ne doit pas compter les variations doubles. 



» 3. Pour les cinq premiers degrés, nous avons trou\c une démonstra- 

 tion très simple, fondée sur le théorème de Rolle et sur l'identité sui^ante, 

 relative au polynôme général du quatrième degré. Si l'on suppose les coef- 

 (icienls binomiaux mis en é\ idence, auquel cas 



/(x) = a^x* -+- /|(7,,i:' -f- Ga..v- + a^a- ■+- «,, 



(') On en trouvera la (It-moiisiialioii dans le ./niir/inl de Malliémali'/ues spéciales 

 (Delagrave). 



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