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on a identiquement 



anf{x) = (a, 03- + 2 ^2 ■^ -r- «3)' 



— (a] — a(,a.,)x''-h2(a\ — a^a^)rc" — (o: — a-^a^), 



le trinôme entre parenthèses n'étant autre que Y^fly 



» 4. Voici maintenant nos nouveaux théorèmes. Les trois derniers seu- 

 lement visent la règle de Newton. 



» Théorème I. — Étant donnée une équation algébrique /(x) ^ o, si 



on multiplie respectivement les coefficients par i , -j ^ \ — r) • • • (p et q étant 



des entiers et p'^q), le nombre des racines positives ne diminue pas ; c'est- 

 à-dire quon a P'^P. // en est de même du nombre des racines négatives. 



,1 7 ^ -7. ;•;• P P(P — 1) 



» // en est de même si l on multiplie par i , -> ~ -, • • • ( qui ne con- 



tiennent aucun facteur nul), pourvu qu'on ait p<iq. 



» 5. Théorème II. — Étant donnée une équation algébrique de degré 7n, 

 f(x) = o, si l'on divise respectivement ses termes par les coefficients bino- 



miaux, i, — > — -^ ■ •■> le nombre des racines positives n'augmente pas; 



à moins toutefois que certaines imaginaires nd prennent la valeur limite de 

 racines égales. En un jnot, on a P^P'. // en est de même pour le nombre des 

 racines négatives. 



» Plus généralement, le théorème subsiste si Von divise pan, 



(avecm^q). 



» 6. Théorème III. — La règle de Newton subsiste : 1° si, dans les fonc- 

 tions quadratiques, on supprime les >.; 2° plus généralement, sil'on divise chaque 

 \ par À" . 



)) 7. Pour énoncer le théorème IV, posons a„= ou i + i- Si nous 



^ ^1 q q 



faisons successivement (7 = 1,2,3,..., nous obtenons une suite de nombres 



a,, a., [i..,, En les faisant précéder de ix, qui désignera l'unité, ces 



nombres sont 



T 5 il i 

 ' I ' j ' ;; ' ■ • ' » 



et jouissent de la propriété suivante : 



» 8. Théorème IV. — La règle de Newton reste exacte, si. avant de l'ap- 



