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 du plan (les Z dont les côtés sont des segments de droites ou des arcs de 

 cercles. On sait queZ(2) vérifie une équation différentielle de la forme 



(0 sz,- = |-^(|;y=F(.). 



où F est une fonction rationnelle dont les coefficients et les infinis sont réels. 

 D'après un théorème dû à M. Klein, si l'intégrale d'une équation telle 

 que (i ) est algébrique, elle peut se mettre sons la forme 



(=) • E(î|i4) = R^ = ;; 



R(s) désigne une fraction rationnelle, E(Z) la fonction canonique inva- 

 riante qui correspond à l'un des groupes finis G de substitutions linéaires 

 à une variable. Les coefficients de E(Z) sont réels. Je dis que ceux de 

 R(c) sont aussi réels. En effet, donnons à z des valeurs réelles x : si 

 X -+- iY {x) vérifie l'équation (i), X — iX {x) est une seconde intégrale 

 de (i). Or, la relation 



E(Z) = R(^) 



définit une intégrale Z de (i), qui est imaginaire si R(£f) est imaginaire; 

 quand x varie, X + iY décrit une courbe G dans le plan Z et, X — i Y vé- 

 rifiant l'équation (i), on doit avoir, pour tout point de G, 



ce qui montre que G est un cercle ou une droite et que la fonction Z(^), 

 dont tous les points critiques sont sur Ox, est une fonction uniforme de z. 

 D'ailleurs, en effectuant sur Z une substitution linéaire, on peut faire coïn- 

 cider G avec OX, et l'intégrale de (i) s'écrit 



les coefficients de R étant réels. 



» Ce point établi, cherchons tous les polygones P pour lesquels la fonction 

 Z(z) est algébrique; Z vérifie dans ce cas une égalité de la forme (2), où R 

 esl réel. Si P, désigne le polvgone que la substitution 



'^'- c'I + d 



