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 fait correspondre a T. la ioiuiion /,(-) rclalive à P, satisfait à l'équation 



E(Z, ) = R(;;. 



» Représentons la \ariable Z non plus sur le plan, mais sur la sphère. 

 » (hiand - décrit O.r, Z, décrit un contour fermé on restant constam- 

 menl sur les arcs do grands cercles définis j)ar l'égalité 



E(Z,) = R(.r;. 



Soit donc S, une des faces (^sur la sphère Z) du polyèdre régulier qui cor- 

 respond au groupe G, etT,, T,v les deuv triangles symétriques qui compo- 

 sent S,; P, est un des polygones II obtcmis en combinant d'une manière 

 quelconque les triangles T. Inversement, pour tout polygone n, la fonction 

 Z(;) est algébrique; car, en la prolongeant d'après le principe de symé- 

 trie, on voit que toutes les valeurs Z, de Z, pour une valeur donnée de Z, 

 s'obtiennent en effectuant sur l'une d'elles Z des substitutions du groupe G; 

 la fonction Z, qui, pour tout point :;, est déterminée et ne prend qu'un 

 nombre fini de valeurs, est algébrique. Le degré de la fraction R(:;) est 

 égal au nombre des triangles T qui composent n. En définitive, /ow^fevyoo/v- 

 gones P dont la représentalion conforme sur le demi-plan s'effectue algébrique- 

 ment se déduisent par une substitution linéaire des polygones obtenus en asso- 

 ciant d'une manière quelconque les demi-faces (spliériques ) des polyèdres 

 réguliers inscrits dans la sphère. Il est aisé de former tous ces polygones et 

 les fonctions R correspondantes. Inversement, étant donné un polygone P, 

 on reconnaît sans peine s'il rentre dans la classe précédente. Le nombre 

 des polygones II est fini pour chaque groupe G, sauf pour les groupes du 

 dièdi-e et les groupes cycliques. Aux groupes cycliques correspondent les 

 fuseaux sphériques dont l'angle est commensurable avec ::; aux groupes 

 (lu dièdre correspondent des hexagones, formés de deux demi-fuseaux 

 ayant pour pôles les extrémités de l'axe de la sphère, arrêtés à l'équateur 

 et dont les angles sont commensurables avec -, ainsi que les longueurs des 

 côtés situés sur l'équateur. Le nombre des côtés peut se réduire à 5, 4 ou 3. 

 La fonction Z, (s) relative à ces hexagones vérifie une équation de la forme 



*^^^ ^,^ (z-anz-f) \/(7 



c){z~d) 



e){z-f) 



On voit qu il sera facile de former toutes les équations (i ) (jui correspon- 

 dent à un polygone II. Invorsenient, on peut toujours reconnaître si une 



