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 équation (i) donnée correspond à un tel polygone, ou ramener l'équation 

 à une quadrature de la forme (3). Il convient d'ajouter qu'on n'embrasse 

 pas ainsi tous les cas où une'équation telle que'fi) a son intégrale algé- 

 brique ; une intégrale algébrique Z(s) représente toujours sur le demi-plan 

 une aire limitée par des arcs de cercles, mais cette aire A est plus ou 

 moins complexe. On peut déterminer toutes les aires A dont aucune partie 

 n'est recouverte plus de n fois et dont la représentation conforme s'ef- 

 fectue algébriquement, et. d'une manière générale, résoudre pour ces 

 aires les mêmes problèmes que pour les polygones. 



» Le théorème précédent permet notamment d'énumérer tous les qua- 

 drilatères pour lesquels Z(z) est algébrique. Si l'on forme les équations (i ) 

 correspondantes, on obtient toutes les équations de la forme 



dont l'intégrale est algébrique : les a, sont des quantités quelconques de 

 module inférieur à 2, les a, et les A, des quantités réelles, liées ensemble 

 par les trois relations qui expriment que ^ = 00 est un point ordinaire 

 de (i)'. Plus généralement, on peut former toutes les équations (i)' 

 dont l'intégrale est algébrique et pour lesquelles |a,| est inférieur à un 

 nombre donné. La question analogue se trouve, par suite, résolue pour 

 l'équation 



[ l'!-l — (' - — -\ _J I- ( y_- — !-\ 'IjlH. 



\ rj du- ^ V"' -'i/ ■'*'i'" \ '- -V ciu 



qu'on peut substituer à l'équation (i)', comme l'a montré M. Darboux; 

 dans cette équation, yt et / sont des nombres réels. 



') J'ajoute qu'aux polvgones P considérés correspondent des surfaces 

 minima pour lesquelles S{u) est algébrique et qui jouissent de la symétrie 

 particulière étudiée par M. Goursat. Ces divers points seront d'ailleurs 

 développés dans un Mémoire étendu. » 



