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GÉOMÉTRIE. — Sur quelques propriétés des aires sphériques. 

 Note de M. G. IIuMBEUT, présentée par j\I. Jordan. 



« Dans une JNote précédente ( ' ), nous avons fait connaître une formule 

 simple, donnant la différence des deux aires découpées sur une sphère de 

 rayon R par un cône dont toutes les génératrices réelles rencontrent la 

 sphère : cette différence est égale à loWd, p désignant un coefficient que 

 nous avons appelé module du cône, et d la distance du centre de la sphère 

 à un plan, passant par le sommet du cône et lié invariablement à ce cône, 

 que nous avons nommé plan d'orientation. 



» On peut compléter ce résultat par la remarque suivante, qui nous a 

 été communiquée par M. Darboux : 



» Le plan d'orientation d'un cône est le plan mené par le sommet normale- 

 ment à la droite qui jouit les centres de gravité des deux aires découpées par le 

 cène sur une sphère concentrique de rayon égal à l'unité; le module du cône 

 est égal au produit de la distance de ces deux centres de gravité par la valeur 

 de l'angle conique. 



M Nous avons fait également observer que la formule générale s'étend à 

 \\\\ angle pohèdre quelconque. Pour un trièdre, en particulier, on a, pour 

 le plan d'orientation et le module, une construction simple. 



» Par le sommet d'un trièdre, élevons sur chacune des faces une normale 

 dirigée vers l'extérieur du trièdre par rapport à la face, et portons sur cette 

 normale une longueur égale à l'angle de la/ace : si l'on compose comme des 

 forces les trois longueurs ainsi obtenues, la résultante est égale au module du 

 trièdre, et perpendiculaire à son plan d'orientation. 



» De là résulte la valeur suivante, pour le module d'un trièdre, dont les 

 faces sont a,, 7.,, x, et les angles dièdres A,^, A, 3, A23 : 



p' = x\+ v.i -H v-l — lia,, (/.., cosA,., — 2 7.^ a, cosA,^ — -ly..,:».^ cosAj^. 



« Si l'on appelle axe d'un trièdre dont les trois faces sont égales la 

 droite commune aux plans bissecteurs des trois dièdres, on déduit de là, 

 par exemple, que : 



(') Cnniplex rcnrliis, 34 octobre 1887. 



