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» Il est donc démontré que 7 ne peut pas être un élément de N. 



» 2° Supposons que 3 et 5 sont deux de ses éléments. 



» 2. A. Soit 5 l'élément exceptionnel. 



» 2. A(a). Si l'indice à l'élément 3 est 2, alors, puisque i + 3-;- 3^ :^i3, 

 on aura les éléments 3, 5, i3; donc le diviseur-somme à i3 doit conte- 

 nir 3, et, conséquemment, contiendra algébriquement le facteur- — ~ — — , 



c'est-à-dire 61. 



» Ainsi on aura les éléments 3, 5, i3, 61. 



,, . i-i-3 + 3^ 1^5 i3 61 28V I \ . . , • , • 



» Mais • — ^ 5- ^ — F 1 + ?.- < 2, ce qui est inadmis- 



9 o 12 60 16 \ 60 / ^ 1 



sible. 



» 2.A((Î). On peut donc supposer l'indice du component à 3 au 

 moins 4- 



» Soient 3, 5, p les trois éléments; l'indice du diviseur- somme kp ne 

 peut pas être 9, car alors on aurait en plus de 3, 5, p deux autres éléments 

 au moins premiers entre eux et à 3, 5, p. 



)) Soit ^ le quatrième élément; la même chose sera vraie du diviseur- 

 somme à q. 



» Donc le produit des diviseurs-sommes à 3, 5,jd, ^ ne peut pas con- 

 tenir une plus haute puissance de 3 que 3'; mais elle doit contenir au 

 moins 3'. 



» Ainsi l'hypothèse que 5 est l'élément exceptionnel est inadmissible. 



» 2.B. Passons à l'hypothèse que 5 est un élément ordinaire. 



„ 3 5 3i 87 



» Remarquons que ~ " 7 • 3" " ag <- '-99^ <C 2. 



» Conséquemment, il y aura au moins un élément, disons p, qui n'ex- 

 cède pas 29 : je dis que p ne peut pas être contenu dans le diviseur- 

 somme de 5 ; car, si cela avait lieu, l'indice de cette somme serait néces- 

 sairement un diviseur impair de l'excès au-dessus de l'unité de quelque 

 nombre premier inférieur à 3i, c'est-à-dire 3, 5, 7, 9 ou 11, dont les 

 quatre derniers correspondent respectivement aux nombres premiers 1 1, 

 29, 19 et 23. 



^3 1 r-» . "î^ I 



» Il ne peut pas être 3, car , _^ = 3i ; ni 5, car ^ = 1 1 . 71 (et l'on 



aurait une combinaison d'éléments 3, 5, 11, 71 ; laquelle est inadmissible, 

 parce que 5 est, par hypothèse, non exceptionnel, et les autres éléments 

 sont de la forme IfX -h 3). 



» Il ne peut pas être 7, car on trouve facilement que 5" — i ne contient 



