( 525 ) 



pas 29 ni 9 ; car, quoiqu'il soit vrai que (5 étant résidu quadratique de 19) 

 5' — I contient 19, il contient en même temps 5' — i, et l'on aurait la com- 

 binaison 3, 5, 19, 3i, qui est défendue par la même raison que l'est 3, 5, 

 II, 71. 



;; Reste seulement 1 1, mais 5" — i ne peut pas contenir 23, parce que 

 5 n'est pas résidu quadratique de 23. 



» Ainsi l'élément 5 ne peut pas engendrer (au moyen du diviseur-somme 

 qui lui répond) un élément qui n'est pas en dehors de la limite 29. 



1) Le diviseur-somme à un tel élément (s'il est 1 1 et seulement dans ce 

 cas-là) peut contenir 5, mais non pas 5^; car, s'il contenait 5S on aurait 

 au moins deux diviseurs de cette somme premiers entre eux et à 3, 5, 1 1 . 



M Remarquons que le component à l'élément exceptionnel ne peut pas 

 être une puissance (à exponent ^j-\-i) d'un nombre; car, siy>o, 

 yV+2— I contiendrait nécessairement deux facteurs premiers distincts en 

 addition à 3, 5 e\.p ; donc J = 0; ainsi l'on voit que q -h i doit contenir au 

 moins les puissances de 3 et 5 contenues en 3". 5-, qui ne sont pas contenues 

 dans le diviseur-somme de l'autre élément indéterminé, lequel on montre 

 facdementne pouvoir contenir que 3 ou 5 et non pas 3% 3.5, ou 5-; car, sur 

 la première ou la dernière de ces trois hypothèses, le nombre des éléments 

 serait plus grand que 4. et sur l'hypothèse qui reste plus grand même 

 que 5. Donc l'élément exceptionnel augmenté par l'unité sera de la forme 

 ou 2/1. 3-. 5 — I ou 2yt.3.5- — I : conséquemment sa valeur doit excéder 89; 

 cela prouve que le p dont nous avons parlé n'est pas l'élément excep- 

 tionnel. 



» Soit q cet élément, on aura 



q = 3o A — I . 



;> Or le diviseur-somme à 5 ne contient ni 3 ni p. 

 » On aura donc forcément 



——=.q=3ol-i, 



c'est-à-dire 



D'^— 120 A -h 3 = o, 

 ce qui est impossible. 



» Cela démontre que l'hypothèse 2.B est inadmissible, et finalement le 

 résultat est acquis qu'il n'existe pas de nombres parfaits impairs qui soient 

 divisibles par moins de 5 facteurs premiers ; car ce théorème, pour les cas 

 d'une multiplicité 3, 2, i, a déjà été démontré. 



